§ 8. Определение энергетического спектра по функции Грина

Для микроскопически однородной системы легко определить зависимость от времени и координат матричных элементов гейзенберговского оператора по отношению к стационарным состояниям с определенными значениями энергии и импульса.

Зависимость от времени дается обычным экспоненциальным множителем

но поскольку гейзенберговский оператор определен с помощью гамильтониана , то

Согласно общим свойствам -операторов, оператор уменьшает (а увеличивает) число частиц в системе на 1. Поэтому в матричном элементе так что

где в виде аргументов указаны числа частиц в соответствующих состояниях.

Для определения координатной зависимости замечаем, что в силу однородности системы матричные элементы ее -операторов не могут измениться при смещении на любое расстояние относительно системы. Это, однако, не означает, что матричные элементы вообще не зависят от координат. Дело в том, что отличие от значения в некоторой заданной точке связано с двумя причинами: со смещением на расстояние относительно самой системы и с перемещением точки наблюдения в другое место пространства, что также меняет фазы волновых функций. Чтобы исключить последнее изменение, сместим систему на вектор , т. е. применим к ее волновым функциям оператор параллельного переноса

(Р — оператор полного импульса системы; см. III (15,13)). В результате этих операций точка наблюдения вернется в исходное место пространства, но останется смещенной относительно системы на вектор . Инвариантность матричных элементов по отношению к такому преобразованию выразится равенством

Если в состояниях система обладает определенными импульсами то

откуда

где

С помощью этих формул можно получить важное разложение для функции Грина в импульсном пространстве, проясняющее ее физический смысл.

Ввиду «разрывного» определения функции , при вычислении надо разбить интеграл по в (7,22) на два интеграла: от до 0 и от 0 до

Во втором из них (т. е. при ) имеем, раскрывая определение (7,10) по правилу умножения матриц:

(суммирование по всем квантовым состояниям системы). Подставив сюда (8,4) и заметив, что в основном состоянии находим

где

Интегрирование по пространству в (7,22) (с из (8,5)) дает в каждом члене суммы -функцию (). При интегрировании же по для обеспечения сходимости надо добавить к бесконечно малую положительную мнимую часть, т. е. заменить Тогда получим

Аналогичным образом вычисляется интеграл по от до 0. При вместо (8,5) имеем

где Вычислив теперь интеграл от до 0 и сложив оба интеграла, получим

где обозначено

Это и есть искомое разложение.

Введем обозначения

для энергий возбуждения, определенных по разностям между возбужденным уровнем системы с определенным числом частиц и основным уровнем системы, содержащей на одну частицу больше или меньше.

Индексы (+) и (-) указывают, что эти энергии

Действительно, заметив, что — химический потенциал при пишем, например,

Но разность в квадратных скобках (где обе энергии относятся к системам с одинаковым числом частиц) положительна по определению основного состояния, откуда и следует, что . К смыслу определения (8,9) мы еще вернемся ниже,

Сдвиг полюсов членов суммы (как функций ), выражаемый слагаемыми в их знаменателях, эквивалентен появлению -функционных мнимых частей согласно правилу

Применив его к (8,7), найдем вещественную часть гриновской функции

и ее мнимую часть (здесь надо учесть, что все разности а все разности

Отсюда видно, что всегда

(8,14)

Отметим также асимптотическое поведение функции при Из (8,7) имеем

Коэффициент при равен, как легко убедиться, компоненте Фурье по от

т. е. единице. Таким образом,

Главное свойство функции Грина в импульсном представлении состоит в том, что ее полюсы могут лежать только в точках где — определенные указанным выше образом дискретные энергии возбуждения системы. Каждая из этих энергий отвечает определенному значению импульса системы о чем свидетельствует наличие соответствующей -функции в каждом полюсном члене функции Грина.

Нас, однако, интересует здесь функция Грина макроскопического тела. Это значит, что рассматривается предел, когда объем V и число частиц N стремятся к бесконечности (при заданном конечном значении отношения ). В этом пределе расстояния между уровнями системы стремятся к нулю, полюсы функции сливаются и можно утверждать лишь, что эта функция имеет мнимую часть при значениях в непрерывной области возможных значений энергии возбуждения системы. Исключение составляют, однако, возбуждения, в которых весь импульс макроскопической системы может быть приписан всего одной квазичастице с определенным законом дисперсии (напомним, что в основном состоянии системы таким значениям отвечают изолированные полюсы функции Грина.

Если же импульс складывается из импульсов нескольких квазичастиц, то энергия системы уже не определяется однозначно значением : заданный импульс системы может складываться различным образом из импульсов квазичастиц, сумма энергий которых пробегает при этом непрерывный ряд значений; интегрирование по всем таким состояниям устраняет полюс.

Таким образом, уравнением

определяется закон дисперсии квазичастиц (В. Л. Бонч-Бруевич, 1955).

Подчеркнем, что способ определения энергии возбуждения, согласно (8,9), как раз соответствует определению энергии квазичастиц в теории Ландау. Действительно, разность есть изменение энергии системы при добавлении к ней одной частицы; приписав все это изменение одной квазичастице, мы определяем в соответствии с (1,3). Аналогичным образом, — есть изменение энергии при удалении одной частицы, так что есть энергия удаленной квазичастицы. Естественно поэтому, что так как в теории Ландау квазичастица может быть удалена только изнутри ферми-сферы.

Поскольку все фигурирующие в разложении (8,7) возбужденные состояния получаются из основного состояния добавлением или удалением одной частицы (со спином 1/2), то ясно, что для системы фермионов полюсы функции Грина определяют лишь спектр элементарных возбуждений фермиевского типа. Как определяется бозевская ветвь, будет показано ниже, в § 18.

Описание спектра макроскопической системы с помощью понятия о квазичастицах с определенной зависимостью от — приближенное описание, точность которого падает с увеличением Отклонение от картины независимых квазичастиц проявляется в сдвиге полюса функции Грина в комплексную область: энергия становится комплексной. Согласно общим правилам квантовой механики (см. III § 134), комплексность уровней энергии означает конечность времени жизни возбужденного состояния системы Сама же величина характеризует степень «размазанности» значений энергии квазичастицы (ширина уровня). Разумеется, такая трактовка имеет смысл лишь при условии достаточной малости мнимой части: Как было объяснено в § 1, это условие действительно выполняется для слабо возбужденных состояний системы, поскольку в то время как

Необходимый знак обеспечивается определенностью знака мнимой части функции Грина. Действительно, вблизи своего полюса эта функция имеет вид

причем постоянная Z > 0, как это следует из положительности коэффициентов в разложении (8,7); величину Z часто называют (по аналогии с квантовой электродинамикой) перенормировочной постоянной.

Мнимая часть функции Грина

Заметив, что это выражение относится к значениям и сравнив его знак с правилом (8,14), найдем, что

как и должно быть: такой знак в обоих случаях ( и в (8,9)) соответствует правильной отрицательной мнимой добавке к энергии возбужденного состояния

К аналитическим свойствам гриновской функции мы вернемся еще в § 36, где этот вопрос будет рассмотрен сразу для общего случая произвольных температур.