Задачи

1. Найти скорость движения и импульс кругового вихревого кольца.

Рис. 3.

Решение. Каждый элемент кольца движется со скоростью в данной точке, а ввиду симметрии кругового кольца эта скорость во всех его точках одинакова. Поэтому достаточно определить скорость создаваемую в какой-либо одной точке кольца Р всеми остальными его частями. Элементы кольца и радиус-векторы R от к точке Р лежат в плоскости кольца; поэтому определяемая формулой (29,4) скорость в точке Р перпендикулярна плоскости кольца (в результате чего кольцо перемещается без изменения своей формы и размера).

Определим положение элемента углом (рис. 3). Тогда

(где — радиус кольца), и из (29,4) находим для скорости кольца у выражение

Этот интеграл, однако, логарифмически расходится на нижнем пределе и должен быть обрезан на значении отвечающем атомным расстояниям элемента до точки Р. С логарифмической точностью интеграл определяется областью значений и равен

так что

С той же логарифмической точностью энергия вихревого кольца

(формула (29,8) с заменой . Энергия связана со скоростью v соотношением , где — импульс кольца. Отсюда

(с логарифмической точностью, при дифференцировании следует считать большой логарифм постоянным), и затем

Формулы (2), (3) определяют в параметрическом виде (параметр ) зависимость для вихревых колец.

Отметим, что ввиду логарифмического характера интегрирования, приводящего к формуле (1), эта формула (с некоторым изменением обозначений в ней) остается справедливой и для скорости v перемещения каждого данного элемента искривленной вихревой нити любой формы:

Здесь - единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в данной точке нити (вектор бинормали); - радиус кривизны нити в этой же точке; X — характерное расстояние, на котором меняется кривизна нити.

2. Найти закон дисперсии малых колебаний прямолинейной вихревой нити (W. Thomson, 1880).

Решение. Выбираем линию нити в качестве оси , и пусть вектор дает отклонение точек нити при ее колебаниях; он является функцией и времени вида Скорость точек нити дается формулой (4), в которой под X надо в данном случае понимать длину волны колебаний ()

Вектор бинормали где t и - единичные векторы касательной и главной нормали к кривой. Согласно известной формуле дифференциальной геометрии, , где - длина, отсчитываемая вдоль кривой. При малых колебаниях нить слабо изогнута, так что можно положить (единичный вектор вдоль оси ); тогда

Таким образом, находим уравнение движения нити

В раскрытом виде оно дает систему двух линейных однородных уравнений для и у, приравняв нулю определитель этой системы, получим искомую связь между и k: