Задачи

1. Вычислить энергию взаимодействия двух вихревых нитей, расположенных на расстоянии друг от друга.

Решение. Преобразуем выражение свободной энергии (48,13) для системы двух вихревых нитей к виду, в котором интегрирования производятся лишь вблизи каждой отдельной нити. Для этого пишем, используя уравнение (48,7):

Объемный интеграл преобразуется в интеграл

взятый по цилиндрическим поверхностям (малого радиуса ), охватывающим сердцевины нитей.

При поля нитей аддитивны, т. е. Энергия взаимодействия нитей дается той частью интеграла (1), которая зависит одновременно от В и

(интегралы же вида стремятся к нулю при ). С помощью (48,8) и (48,10) находим отсюда

В частности, на расстояниях

2. Определить зависимость средней (по сечению цилиндрического образца) магнитной индукции В от внешнего поля в смешанном состоянии, в котором вихревые нити расположены на расстояниях друг от друга, образуя (в сечении образца) решетку из равносторонних треугольников.

Решение. Площадь равностороннего треугольника равна — длина стороны), а число нитей равно половине числа треугольников в решетке (N треугольнике - имеют вершин, но в решетке каждая вершина принадлежит шести соприкасающимся треугольникам), поэтому

Термодинамический потенциал f единицы объема тела в смешанном состоянии

где второй член отвечает выражению (48,1) (с из (48,2)); в третьем члене — энергия взаимодействия двух нитей, а суммирование производится по всем нитям, пересекающим единицу площади. Ввиду экспоненциального убывания при , в сумме достаточно учесть лишь пары соседних нитей. В треугольной решетке каждая нить имеет 6 ближайших соседей, поэтому

Подставив из формулы (2) предыдущей задачи, находим

где Зависимость а от определяется условием минимальности функции ; это дает

(опущен член более высокого порядка по ). Это уравнение вместе с равенством т. е.

определяет искомую зависимость .

Отметим, что при производная стремится к бесконечности по закону