§ 79. Температурная функция Грина фотона в среде

Температурная функция Грина фотона в среде строится по мацубаровским операторам потенциалов электромагнитного поля подобно тому, как временная функция Грина (75,2) строится из гейзенберговских операторов:

Здесь учтено, что в силу эрмитовости шредингеровских операторов поля мацубаровские операторы (определенные согласно (37,1)) совпадают друг с другом. Эти операторы, однако (в отличие от гейзенберговских), сами уже не эрмитовы; ввиду вещественности параметра имеем

или

Поскольку функция (79,1) зависит только от разности (ср. § 37), то можно написать (положив, например, )

Из сравнения этих двух выражений видно, что

Функция может быть разложена в ряд Фурье по переменной :

причем «частоты» пробегают (ввиду статистики Бозе, которой подчиняются фотоны) значения (ср. (37,8)). Для компонент этого разложения из (79,2) следует аналогичное соотношение

Согласно общему соотношению (37,12), эти компоненты связаны с запаздывающей функцией Грина равенством

при положительных . В § 75 было показано, что функции можно в известном смысле рассматривать как обобщенные восприимчивости, фигурирующие в общей теории отклика макроскопической системы на внешнее воздействие. Отсюда следовало свойство симметрии этих функций, выражаемое (для немагнитоактивных сред) равенством (75,12), а ввиду связи между функциями таким же свойством обладают и последние:

Из этого равенства, вместе с равенством (79,4), следует теперь, что функции четны по дискретной переменной так что при всех (положительных и отрицательных) ее значениях имеем

Далее, функция , как и всякая обобщенная восприимчивость, вещественна на верхней мнимой полуоси (см. V § 123); из (79,6) следует поэтому, что функция вещественна при всех значениях . Наконец, из этих свойств следует, в свою очередь, что и исходная функция вещественна и четна по переменной :

Связь (79,6) между температурной и запаздывающей функциями Грина позволяет сразу написать дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция в неодно родной среде; для этого достаточно произвести замену в уравнении (75,15) или (75,16).

Так, для изотропной немагнитоактивной среды с находим уравнение

Для однородной неограниченной среды функция разлагается в интеграл Фурье по разности . Компоненты этого разложения удовлетворяют системе алгебраических уравнений

и даются формулой

(79,10)

Поскольку функция выражается (в длинноволновой области ) через , то диаграммная техника для ее вычисления становится тем самым техникой для вычисления диэлектрической проницаемости среды. При этом последняя имеет также и определенный диаграммный смысл, который будет сейчас выяснен.

Будем изображать точную -функцию жирной, а функцию в вакууме — тонкой пунктирной линией по правилу

(79,11)

Вся совокупность диаграмм, изображающих -функцию, может быть изображена рядом (вполне аналогичным ряду (14,3) для функции :

(79,12)

где кружок изображает совокупность диаграммных блоков, не распадающихся на две части, связанные только одной пунктирной линией; обозначим эту совокупность посредством .

Функцию (аналогичную собственно-энергетической части гриновской функции частиц) называют поляризационным оператором.

Диаграммное равенство (79,12) эквивалентно уравнению

(79,13)

(ср. переход от (14,3) к (14,4)). В аналитическом виде оно дает

(все множители—функции одинаковых аргументов ). Умножив это равенство справа на обратный тензор и слева — на перепишем его в виде

(79,15)

Наконец, взяв из левой стороны уравнения (79,9) и такое же выражение с для найдем

(79,16)

чем и определяется диаграммный смысл функции в дискретном множестве точек на Верхней мнимой полуоси . Аналитическое продолжение функции на всю верхнюю полуплоскость должно, в принципе, производиться с учетом того, что не должна иметь особенностей в этой полуплоскости и что при

В неоднородной среде поляризационный оператор является (как и ) функцией координат двух точек. Повторив весь вывод в координатном представлении, получим вместо (79,14) уравнение

(аргументы для краткости не выписываем). Подействовав на это равенство слева оператором

и учтя, что удовлетворяет уравнению (79,8) с получим

откуда

(79,17)

Структура конденсированной среды, а с нею и ее диэлектрические свойства определяются силами, действующими между ее частицами на расстояниях порядка атомных размеров а. На этих расстояниях можно (при нерелятивистских скоростях частиц), пренебречь запаздыванием взаимодействий, которое становится существенным лишь для длинноволновых (в смысле компонент поля; другими словами, при вычислении поляризационного оператора можно пренебречь длинноволновой частью поля. В диаграммах же для самой гриновской функции длинноволновое поле фигурирует лишь через тонкие пунктиры в правой стороне (79,12).

Рассмотренный в этом параграфе трехмерный тензор является, конечно, лишь пространственной частью поляризационного 4-тензора . Подчеркнем, во избежание недоразумений, что его временная и смешанные компоненты отнюдь не равны нулю. Более того, как и в квантовой электродинамике, этот 4-тензор вообще не зависит от калибровки потенциалов. В нерелятивистской теории эта калибровочная инвариантность очевидна уже из указанной только что возможности вычисления поляризационного оператора с учетом одних только незапаздывающих сил, не зависящих от калибровки длинноволнового поля.

Компоненты можно найти из условия поперечности 4-тензора: где — волновой 4-вектор: