§ 41. Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа

Перейдем к построению математической техники гриновских функций в применении к сверхтекучим ферми-системам.

Мы видели в § 26, что в терминах -операторов бозе-эйнщтейновская конденсация в бозе-системе выражается существованием отличных от нуля предельных (когда число частиц ) значений матричных элементов, связывающих состояния, отличающиеся лишь изменением N на единицу. Физический смысл этого утверждения состоит в том, что удаление или прибавление одной частицы в конденсат не меняет состояния макроскопической системы.

В случае сверхтекучей ферми-системы то же самое должно относиться к конденсату из куперовских пар: состояние системы не должно меняться при изменении на единицу числа пар в конденсате. Математически это выражается в наличии отличных от нуля предельных значений матричных элементов у произведения (-оператора уничтожения двух частиц, и у эрмитово-сопряженного ему оператора рождения пары частиц ) . Эти матричные элементы связывают «одинаковые» состояния систем, отличающиеся лишь удалением или прибавлением одной пары частиц:

В дальнейшем мы будем опускать знак взятия предела; для краткости будем также опускать диагональный матричный индекс , нумерующий «одинаковые» состояния систем с различными числами частиц.

Как и в случае бозе-систем (§ 31), в математическом аппарате гриновских функций для сверхтекучих ферми-систем фигурирует несколько различных функций. Наряду с обычной гриновской функцией

необходимо ввести также и «аномальные» функции, согласно определениям,

Поскольку каждая из функций и строится из двух одинаковых операторов, то

Напомним, что согласно основным принципам статистики результат статистического усреднения не зависит от того, производится ли оно по точной волновой функции стационарного состояния замкнутой системы или с помощью распределения Гиббса. Разница состоит лишь в том, что в первом случае результат усреднения будет выражен через энергию Е и число частиц N, а во втором — через Г и . Для следующих ниже в этом параграфе рассуждений более удобен первый способ.

В рассмотренной в § 39 модели ферми-газа связанные пары находятся в синглетном состоянии. Спиновая зависимость матричных элементов операторов рождения или уничтожения такой пары сводится к единичному антисимметричному спинору

Запишем поэтому функции (41,3) в виде

этом в силу (41,4) F и симметричны по Спиновая же зависимость гриновской функции для неферромагнитной системы сводится к . В однородной, макроскопически неподвижной системе гриновские функции G, F и ависят только от разностей координат точек и разности мостов времени (ср. примечание на стр. 150).

Подобно тому как введенная в § 26 функция имела мысл волновой функции частиц в конденсате, так функцию можно рассматривать как волновую функцию астиц, связанных в находящихся в конденсате куперовских арах. Тогда функция

будет волновой функцией движения этих пар как целого.

Из определений (41,3), (41,5) легко видеть, что при этом . В стационарной, макроскопически неподвижной системе функция сводится к постоянной; надлежащим выбором фаз -операторов можно сделать эту постоянную вещест-. венной.

Вычислим теперь определенные таким образом гриновские функции для модели ферми-газа со слабым притяжением между частицами.

Гейзенберговский -оператор удовлетворяет уравнению (7,8). Ввиду малости радиуса действия сил между частицами в рассматриваемом газе в интегральном члене этого уравнения можно взять значения множителей в точке и вынести их из-под знака интегрирования; тогда уравнение примет вид

Эрмитовским сопряжением всех членов этого уравнения получим аналогичное уравнение для оператора :

Подставив выражение (41,8) в производную получим уравнение

(41,10)

(ср. (15,12)). Фигурирующий здесь диагональный матричный элемент произведения четырех операторов может быть расписан, согласно правилу умножения матриц, в виде суммы произведений матричных элементов двух пар операторов. Из всех таких произведений оставим лишь то, которое содержит матричные элементы для переходов с изменением числа частиц и опустим все остальные члены

(41,11)

(в последнем преобразовании использованы выражения ).

Физически этот член отвечает спариванию частиц и по порядку величины совпадает с плотностью конденсата.

Подчеркнем, однако, принципиальное отличие от пренебрежений, которые делались в случае слабо неидеального бозе-газа. В последнем почти все частицы находятся при в конденсате, в число надконденсатных частиц, появляющихся только в результате слабого взаимодействия частиц, относительно мало. В данном же случае, напротив, сам конденсат появляется в результате слабого взаимодействия и потому включает в себя лишь малую долю частиц. Другими словами, отбрасываемые при замене (41,11) члены не малы, а велики по сравнению с оставленными. Последние, однако, приводят к качественно новому эффекту — изменению характера спектра, в то время как первые были бы нужны лишь для вычисления не интересующей нас здесь поправки к основному уровню системы (ср. в этой связи примечание на стр. 194).

После замены (41,11) уравнение (41,10) сводится к виду

(X) (41,12)

(аргумент функции заменен на X, а постоянная обозначена через S — в соответствии с определением (41,7)). Сюда входят две неизвестные функции , поэтому для их вычисления необходимо еще одно уравнение.

Его можно получить, вычисляя производную

член с -функцией (подобный второму члену в (9,5)) здесь не возникает, поскольку функция (в противоположность функции непрерывна при Подставив сюда (41,9) и снова произведя выделение конденсатного члена, аналогичное (41,11), получим в результате уравнение

(41,13)

В него входят те же две функции G и что и в (41,12); поэтому эти два уравнения достаточны для вычисления этих функций (для вычисления же F надо было бы вывести аналогичным образом еще одно уравнение).

Перейдем в этих уравнениях к импульсному представлению, введя обычным образом фурье-компоненты :

где и . Отметим, что ввиду четности функции , четны также и ее фурье-компоненты .

Исключив из двух уравнений функцию , найдем для G уравнение

(41,15)

где введено обозначение

(41,16)

Формальное решение уравнения (41,15):

где , а даются формулами (39,13). Уже отсюда видно, что спектр элементарных возбуждений, определяемый положительным полюсом функции Грина, дается функцией снова приходим к результату (39,20). Мы видим также, что энергетическая щель Д и модуль конденсатной волновой функции движения пар как целого оказываются пропорциональными друг другу величинами.

Выражение (41,17) для однако, еще неполно: в нем не определен способ обхода полюсов: Другими словами, остается еще неопределенной мнимая часть функции G; эта часть содержит -функцию и потому выпадает при умножении на в уравнении (41,15).

При правило обхода полюсов устанавливается прямым сравнением выражения (41,17) с разложением (8,7): в членах с положительными и отрицательными полюсами переменную йадо заменить соответственно на и ; тогда (41,17) примет вид

(41,18)

Выражая теперь из второго из уравнений (41,14), находим

С другой стороны, имеем, по определению,

(41,20)

Подставим сюда (41,19); интегрирование по осуществляется путем замыкания контура бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости, после чего интеграл выражается через вычет в полюсе . В результате, после сокращения на Е, получим равенство (39,16), определяющее

При нахождение мнимой части гриновских функций несколько сложнее. Для построения функции с правильными аналитическими свойствами по переменной и напишем сначала запаздывающую функцию (); она должна быть аналитична в верхней полуплоскости и потому получается из (41,17) заменой . Мнимая часть этой функции:

Мнимая же часть искомой функции G находится отсюда с помощью формулы (36,14), согласно которой

где — фермиевская функция распределения (39,14) (использовав эту формулу, мы тем самым осуществляем переход от усреднения по заданному стационарному состоянию системы к усреднению по распределению Гиббса). Функцию G с этой мнимой частью можно записать в виде

(41,21)

Для функции же находим теперь

где первый член есть функция (41,19), относящаяся к Подставив это выражение в (41,20) и произведя интегрирование, мы вернемся к уравнению (39,15), определяющему

Уравнения (41,14) можно изобразить в диаграммном виде аналогично тому, как для сверхтекучей бозе-системы были представлены уравнения (33,7).

При этом функции изображаются теми же графическими элементами (33,6) — одно- и двусторонними стрелками. Два уравнения (41,14) записываются в виде

(41,23)

Тонкой стрелке отвечает множитель где — гриновская функция идеального ферми-газа. Входящей же в вершину и выходящей из нее волнистым линиям отвечают соответственно множители Сравнив (41,23) с (33,7), видим, что эти последние множители соответствуют собственноэнергетическим функциям т. е. представляют собой первые приближения для этих величин. Отметим, что новыми элементами — двусторонними стрелками и волнистыми линиями — ограничиваются особенности диаграммной техники для сверхтекучих ферми-систем; в отличие от случая бозе-систем, «тройные» вершины здесь не возникают. Поэтому диаграммная техника оказывается здесь гораздо проще и ближе к «обычной», чем для сверхтекучих бозе-систем.