§ 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ

Основные свойства энергетического спектра бозевского типа ясно видны на модели слабо неидеального бозе-газа при близких к нулю температурах. Эта модель будет рассмотрена в этом параграфе аналогично тому, как это было сделано в § 6 для ферми-газа. Все сказанное в § 6 в связи с общей характеристикой моделей вырожденного почти идеального газа относится и к настоящему случаю. В частности, условие слабой неидеальности (газовый параметр а — длина рассеяния) может быть по-прежнему сформулировано в виде условия (6,1) малости импульсов частиц: .

Гамильтониан системы парно взаимодействующих бозонов (которые мы будем предполагать бесспиновыми) имеет вид, отличающийся от (6,6) лишь отсутствием спиновых индексов:

(суммирование по всем импульсам, фигурирующим в индексах), Операторы же уничтожения и рождения частиц удовлетворяют теперь правилам коммутации

Как и в § 6, снова заменяем, в соответствии с предположением о малости импульсов, все матричные элементы в (25,1) их значением при нулевых импульсах; тогда

Исходным пунктом применения теории возмущений к этому гамильтониану является следующее замечание. В основном состоянии идеального бозе-газа все частицы находятся в конденсате состоянии нулевой энергии; числа заполнения при (см. V § 62). В почти идеальном же газе в основном и в слабо возбужденных состояниях числа отличны от нуля, но очень малы по сравнению с макроскопически большим числом Тот факт, что величина весьма велика по сравнению с единицей, означает, что выражение

мало по сравнению с самими и потому можно рассматривать последние как обычные (равные ) числа, пренебрегая их некоммутативностью.

Применение теории возмущений означает теперь формально разложение четверной суммы в (25,2) по степеням малых величин . Нулевой член разложения равен

Члены первого порядка отсутствуют (ввиду невозможности соблюдения в них закона сохранения импульса). Члены второго порядка

Ограничиваясь точностью до величин второго порядка, можно заменить в (25,4) на полное число частиц N.

В члене же (25,3) следует учесть более точное соотношение

В результате сумма членов (25,3-4) становится равной

и после подстановки в (25,2) получаем следующее выражение для гамильтониана:

Первый член этого выражения определяет, в первом приближении, энергию основного состояния газа, а его производная по -соответственно химический потенциал при

Остальные же члены в (25,5) определяют поправку к и спектр слабо возбужденных состояний газа.

Входящий в (25,5) интеграл должен еще быть выражен через реальную физическую величину — длину рассеяния а. В членах второго порядка это может быть сделано прямо по формуле (6,2): . В первом же члене нужна более точная формула (6,5), учитывающая второе борновское приближение в амплитуде рассеяния. При этом речь идет о столкновении двух частиц конденсата, соответственно чему в сумме в (6,5) надо положить так что будет

Подставив это в (25,5), получим для гамильтониана

Для определения уровней энергии надо привести гамильтониан к диагональному виду, что осуществляется надлежащим линейным преобразованием операторов Введем новые операторы согласно определению,

причем потребуем, чтобы они удовлетворяли таким же соотношениям коммутации

каким удовлетворяют операторы Легко видеть, что для этого должны быть Учтем это, написав линейное преобразование в виде

Величину надо определить таким образом, чтобы в гамильтониане выпали недиагональные члены ). Простое вычисление дает

где введены обозначения;

(25,10)

При этом гамильтониан принимает вид

(25,12)

где

(25-13)

Вид гамильтониана (25,12) и бозевские соотношения коммутации для операторов позволяют заключить, что представляют собой операторы рождения и уничтожения квазичастиц с энергией подчиняющихся статистике Бозе. Собственные значения диагонального оператора представляют собой числа квазичастиц с импульсом , а формула (25,10) определяет зависимость их энергии от импульса (числа заполнения квазичастиц снова обозначены посредством пр в отличие от чисел заполнения истинных частиц газа). Тем самым полностью определен энергетический спектр слабо возбужденных состояний рассматриваемого газа.

Величина же есть энергия основного состояния газа.

Заменив суммирование по дискретным значениям (в объеме V) интегрированием по и произведя вычисления, получим следующее выражение:

(Т. D. Lee, С. N. Yang, 1957). Для химического потенциала газа (при соответственно имеем

Эти формулы представляют собой два первых члена разложений по степеням Но уже следующий член не мог бы быть вычислен изложенным способом. Он должен содержать объем как а величина этого порядка зависит уже не только от двойных, но и от тройных столкновений.

При больших значениях импульса энергия квазичастиц (25,10) стремится к т. е. к кинетической энергии отдельной частицы газа.

При малых же импульсах имеем . Легко видеть, что коэффициент и совпадает со скоростью звука в газе, так что это выражение отвечает фононам в соответствии с общими утверждениями § 22. При свободная энергия совпадает с энергией Ей; и взяв главный член в разложении последней, находим давление

Скорость же звука получается как (где плотность газа) и совпадает с (25,11).

Отметим, что в рассматриваемой модели бозе-газа длина рассеяния а непременно должна быть положительной величиной (отталкивательное взаимодействие между частицами). Это видно формально уже из того, что в полученных формулах для энергии при появились бы мнимые члены. Термодинамический же смысл условия заключается в том, что оно необходимо для соблюдения в данной модели бозе-газа неравенства

Статистическое распределение элементарных возбуждений (средние значения пр их чисел заполнения) при отличной от нуля температуре дается просто формулой распределения Бозе (22,2). Распределение же истинных частиц газа по импульсам можно вычислить усреднением оператора

Использовав (25,8) и учитывая, что произведения не имеют диагональных матричных элементов, получим

(25.16)

Это выражение справедливо, разумеется, лишь при Число же частиц с нулевым импульсом

(25.17)

В частности, при абсолютном нуле все и с помощью (25,9) получим из (25,16) функцию распределения в виде

(при средние значения совпадают с точными значениями; поэтому черту над буквой опускаем). Неидеальность бозе-газа приводит, естественно, к появлению частиц с отличным от нуля импульсом и при абсолютном нуле; интегрирование в (25,17) с из (25,18) производится элементарно и дает

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу полученного здесь спектра. При малых производная т. е. кривая загибается вверх от начальной касательной . В таком случае (см. ниже § 34) возникает неустойчивость спектра, связанная с возможностью самопроизвольного распада квазичастиц (фононов). Соответствующая ширина уровней, однако, мала (пропорциональна при малых ) и не затрагивает выражений, получающихся в рассмотренных приближениях.