§ 61. Электронный спектр нормальных металлов

В реальных кристаллах нормальных (несверхпроводящих) металлов электроны образуют квантовую ферми-жидкость, относящуюся к описанному в главе I типу. Ряд отличий возникает, однако, в связи с тем, что здесь мы имеем дело не со «свободной» изотропной жидкостью, а с жидкостью в анизотропном периодическом поле решетки.

Подобно тому как энергетический спектр свободной ферми-жидкости строится аналогично спектру идеального ферми-газа, так спектр электронной ферми-жидкости в металле строится аналогично спектру идеального «газа в решетке». Появление квазиимпульса как сохраняющейся величины связано только с пространственной периодичностью системы (подобно тому как сохранение истинного импульса является следствием полной пространственной однородности). Естественно поэтому, что перечисленные в § 55 свойства переносятся и на характер классификации уровней в спектре электронной жидкости в металле, причем роль частиц (электронов) переходит к квазичастицам.

При температуре абсолютного нуля частицы идеального ферми-газа в периодическом поле займут все нижние уровни с энергиями вплоть до некоторого граничного значения (совпадающего со значением химического потенциала при ); определяемого условием, что число состояний с совпадает с полным числом электронов.

При этом энергетические зоны, для которых при всех значениях к, окажутся полностью заполненными, зоны с - пустыми, а зоны, для которых уравнение

имеет решение, — будут заполнены частично. Уравнения (61,1) определяют в -пространстве граничную поверхность Ферми, отделяющую (для каждой зоны) заполненные состояния от пустых.

Аналогично, в реальном металле существует поверхность в -пространстве, отделяющая область заполненных (при состояний квазичастиц от свободных состояний; по одну сторону этой поверхности энергии квазичастиц а по другую . Напомним, однако (см. § 1), что понятие квазичастиц в ферми-жидкости имеет реальный физический смысл лишь вблизи ферми-поверхности, где затухание элементарных возбуждений сравнительно мало. Поэтому представление о заполненных энергетических зонах (возникающее при описании спектра идеального ферми-газа) в реальной электронной жидкости теряет свой буквальный смысл.

Квазичастицы вблизи ферми-поверхности называют электронами проводимости. Их энергия является, в общем случае, линейной функцией квазиимпульса; аналогично (1,12), имеем

где — точка на ферми-поверхности, а

— скорость электронов проводимости в этих точках.

Вблизи ферми-поверхности должна лежать и «область размытости» распределения электронов проводимости при отличных от нуля температурах. Отсюда возникает условие применимости теории ферми-жидкости: где и -характерные величины размеров ферми-поверхности и скорости на ней. Обычно размеры совпадают по порядку величины с размерами ячейки обратной решетки, так что (исключение составляют так называемые полуметаллы — см. ниже). Положив также для оценки придем к условию , практически всегда выполняющемуся.

Фактически все металлы имеют кристаллические решетки с центром инверсии. Согласно сказанному в конце § 55, все уровни энергии электронов проводимости (с заданными к) двукратно вырождены по спину (речь идет о металлах не ферро- и не антиферромагнитных).

Форма и расположение ферми-поверхности являются важной характеристикой каждого конкретного металла. У различных металлов они имеют самую разнообразную, вообще говоря сложную, форму. Ферми-поверхность может состоять из нескольких не связанных между собой листов, которые могут быть односвязными или многосвязными, закрытыми или открытыми (ср. сказанное в § 55 об изоэнергетических поверхностях вообще).

Замкнутые листы ферми-поверхности можно разделить на две категории в зависимости от того, ограничивают ли они области заполненных (при или свободных состояний квазичастиц (в первом случае внутри полости , а во втором ). Оба случая можно, однако, описывать аналогичным образом, если считать во втором случае, что «пустая» полость заполнена «квазидырками»; переход системы в возбужденное состояние описывается тогда как переход квазидырок изнутри ферми-поверхности наружу. Самую ферми-поверхность называют тогда дырочной, в отличие от электронной в первом случае. Физическое различие между двумя типами квазичастиц — электронами и дырками — ясно проявляется при их движении во внешних полях. Так, все сечения дырочной (или электронной) ферми-поверхности, определяющие квазиклассические траектории при движении в магнитном поле, относятся к дырочному (или электронному) типу в указанном в § 57 смысле.

В изотропной «свободной» ферми-жидкости, о которой шла речь в § 1, ферми-поверхность представляла собой сферу, радиус которой определялся плотностью жидкости согласно теореме Ландау (1,1). Аналогичная связь имеется и для электронной жидкости в металле, но специфика свойств, связанных с периодичностью решетки, приводит к некоторому изменению в формулировке этой связи.

Число электронов в металле удобно относить к одной элементарной ячейке его решетки; пусть п—полное число электронов в атомах одной ячейки. Обозначим через суммарный объем в одной ячейке обратной решетки, лежащий с заполненной стороны ферми-поверхности (т. е. со стороны, где ).

Слово суммарный означает здесь, что если заполненные области, соответствующие различным листам ферми-поверхности, частично перекрываются, то они все равно должны складываться независимо. Объем условимся измерять в единицах объема самой ячейки обратной решетки; сделанное замечание о перекрытии областей означает, что определенная таким образом величина может превышать единицу.

Интересующее нас утверждение (теорема Латтинжера), заменяющее для металла теорему Ландау, выражается равенством

где l - некоторое целое число (10). В модели идеального газа в решетке это число имеет простой смысл: полному заполнению каждой зоны соответствует два электрона в ячейке обратной решетки (удвоение связано с двумя спиновыми состояниями), так что есть число электронов, заполняющих l нижних зон, а разность n-2l - число электронов в частично заполненных зонах. Формула (61,4) выражает тот отнюдь не тривиальный — факт, что аналогичная ситуация продолжает иметь место и при учете взаимодействия между электронами. По определению металла, целое число отлично от нуля.

Пусть в металле имеются только замкнутые листы ферми-поверхности—электронные и дырочные. Обозначим посредством и вклады в отдельных электронных и дырочных полостей:

(суммирования соответственно по всем электронным и всем дырочным листам). Величина совпадает с объемом электронной полости, а объем дырочной полости есть Введем числа электронных и дырочных квазичастиц

При четном (а потому и четном ) возможны случаи, когда совпадает с удвоенным числом дырочных полостей. Тогда равенство (61,4) сведется, как легко убедиться, к равенству

Такие металлы с равными числами квазичастиц и квазидырок называют компенсированными.

Обратим внимание на то обстоятельство, что при точно выполняющемся равенстве (61,5) сами величины могут быть произвольными, в том числе сколь угодно малыми.

В таких случаях, когда объемы всех полостей ферми-поверхности очень малы (по сравнению с объемом одной ячейки обратной решетки), говорят о полуметаллах. Существует, однако, нижняя граница для числа электронов проводимости, за которой электронный спектр металлического типа становится неустойчивым и существовать не может (см. об этом ниже, в конце § 66).

Термодинамические величины металла складываются из решеточных и электронных частей. Температурная зависимость последних определяется квазичастицами в окрестности ферми-поверхности (закон дисперсии (61,2)). Характер этой зависимости, естественно, тот же, что и у идеального ферми-газа или у изотропной ферми-жидкости (ср. § 1); отличие в формулах возникает лишь от другого числа состояний квазичастиц вблизи ферми-поверхности, не являющейся теперь сферой.

Обозначим число состояний (отнесенное к единице объема металла), приходящееся на интервал энергий de, через . Элемент объема -пространства между бесконечно близкими изоэнергетическими поверхностями, отвечающими энергиям равен где - элемент площади ферми-поверхности, - величина нормального к ней вектора . Поэтому

где интегрирование производится по всем листам ферми-поверхности, расположенным внутри одной ячейки обратной решетки (при открытой ферми-поверхности грани самой ячейки в область интегрирования, разумеется, не входят).

Величина (61,6) заменяет собой в термодинамических величинах выражение, которое для газа свободных частиц (поверхность Ферми—сфера) имело вид

Так, для электронной части термодинамического потенциала металла имеем, (ср. V § 58)

где — значение потенциала при

Рассматривая второй член в (61,7) как малую добавку к согласно теореме о малых добавках, можно написать такую же формулу и для термодинамического потенциала :

где теперь и V предполагаются выраженными через Р (по «нулевому» приближению, т. е. при Т = 0).

Определяя из (61,8) энтропию, а затем теплоемкость, найдем

Решеточная же часть теплоемкости пропорциональна (при температурах, малых по сравнению с дебаевской ); поэтому при достаточно низких температурах электронный вклад в теплоемкость становится преобладающим.

По этой же причине становится преобладающим в этой области температур также и электронный вклад в тепловое расширение металла. Определяя из (61,8) объем а затем коэффициент теплового расширения а, найдем

Отметим, что здесь (как и в области — см. V § 67) отношение

оказывается не зависящим от температуры.