Задачи

1. Найти закон дисперсии для одномерного движения электрона в периодическом поле, изображенном на рис. 10 (R. Kronig, W. G. Penney, 1930). Решение. Волновая функция в области ямы имеет вид

а в области барьера II

В области следующего барьера III волновая функция должна отличаться от лишь фазовым множителем — период поля):

Условия непрерывности в точках дают четыре уравнения для условие совместности этих уравнений приводит к дисперсионному уравнению

(4)

определяющему в неявном виде искомую зависимость . При величина мнима, и тогда уравнение надо записать в виде

(5)

Если в (5) перейти к пределу при получим дисперсионное уравнение

Оно решает задачу об уровнях энергии в периодическом поле, составленном из -функционных пиков:

На рис. 11 дано графическое построение, иллюстрирующее распределение корней уравнения (6). Здесь изображена правая сторона уравнения как функция от когда она пробегает значения между ±1, корни уравнения пробегают значения в интервалах, указанных жирными отрезками на оси абсцисс.

2. Найти закон дисперсии для одномерного движения частицы в слабом периодическом поле

Рис. 11.

Решение. Рассматривая поле как малое возмущение, исходим из нулевого приближения, в котором частица совершает свободное движение, описываемое плоской волной

(нормировка на 1 частицу на длине ; — период поля); энергия частицы Представим периодическую функцию в виде ряда Фурье

Матричные элементы этого поля по отношению к плоским волнам отличны от нуля только для переходов между состояниями с волновыми векторами k и и в этих случаях равны

В первом приближении теории возмущений поправка к энергии дается диагональным матричным элементом т. е. не зависящей от k постоянной, лишь смещающей начало отсчета энергий. Исключение составляют, однако, уровни энергии в окрестности значений пп/а В этих точках к отличается лишь знаком от значения так что энергии совпадают. В окрестности этих значений, следовательно, отличны от нуля матричные элементы для переходов между состояниями с близкими энергиями, и для определения поправки должен быть использован метод теории возмущений, относящийся к случаю близких собственных значений (см. III § 79). Ответ дается формулой III (79,4), согласно которой в данном случае

где а аддитивная постоянная опущена; выбор знака перед корнем определяется требованием, чтобы вдали от значения функция переходила бы в знаки + и — относятся соответственно к областям .

В самих точках функция испытывает скачок, равный На рис. 12, а энергия изображена как функция переменной к, пробегающей значения от до Если же привести значения к (квазиимпульса) к интервалу между то мы придем к рис. 12, б, где изображены две первые энергетические зоны.

Рис. 12.

Обратим внимание на то, что зоны на рис. 12 (как и на рис. 11) не перекрываются. Это общее свойство одномерного движения в периодическом поле. Каждый уровень энергии двукратно вырожден (по знаку k), а большая кратность вырождения при одномерном движении вообще невозможна. Отметим также, что в одномерном случае границы каждой зоны (минимальные и максимальные значения ) соответствуют значениям и Дело в том, что волновые функции, соответствующие энергиям в запрещенном интервале, умножаются при смещении на период а на некоторый вещественный множитель (в силу чего и возрастают неограниченно на бесконечности). Волновые же функции в разрешенных интервалах энергии при таком переносе умножаются на . На границе между запрещенным и разрешенным интервалами этот множитель, следовательно, должен быть одновременно вещественным и равным по модулю единице, откуда и следует равенство нулю или n.

3. Найти закон дйеперсии частицы в одномерном периодическом поле, представляющем собой последовательность симметричных потенциальных ям, удовлетворяющих условию квазиклассичности (ввиду чего вероятность проникновения частицы через барьер между ямами мала).

Рис. 13.

Решение аналогично ходу решения задачи о расщеплении уровней в двойной яме (III § 50, задача 3). Пусть — нормированная волновая функция, описывающая движение (с некоторой энергией рис. 13) в одной из ям, т. е. экспоненциально затухающая в обе стороны от границ этой ямы; эта функция вещественна и может быть четной или нечетной по переменной Правильная же волновая функция нулевого приближения для движения частицы в периодическом поле представляет собой сумму

где С—нормировочная постоянная (при сдвиге эта функция умножается, как и следовало, на ).

Пишем уравнения Шредингера

умножаем первое на второе на вычитаем почленно и интегрируем по в пределах от до (рис. 13).

Замечаем, что поскольку произведения с исчезающе малы везде, то

Находим

При в сумме (1) должны быть сохранены лишь члены с и причем в зависимости от четности или нечетности функции

аналогичным образом, при должны быть сохранены лишь члены с и . В результате получим

Сюда надо подставить значения

где -классическая частота колебаний частицы в яме; — точка поворота, отвечающая энергии Окончательно:

Таким образом, каждый уровень энергии отвечающий движению частицы в изолированной яме, расширяется в узкую полосу (зону) с шириной определяемой коэффициентом проницаемости D потенциального барьера, разделяющего две ямы.