§ 84. Операторное выражение для диэлектрической проницаемости

В этом параграфе мы получим полезное представление диэлектрической проницаемости среды через коммутатор оператора плотности зарядов (Ph. Nozieres, D. Pines, 1958). Эта формула аналогична формуле Кубо с учетом специфики электромагнитного поля.

Будем рассматривать однородную среду, обладающую не только временной, но и пространственной дисперсией диэлектрической проницаемости. Это значит, что индукция. зависит от значений напряженности не только в предыдущие моменты времени, но и в других точках пространства. Такая зависимость может быть представлена в общем виде как

Для монохроматического поля, в котором , эта связь сводится к

где

Мы ограничимся случаем, когда среда не только однородна, но и изотропна и не обладает естественной оптической активностью. Тогда диэлектрическая проницаемость остается тензором, но составленным лишь с помошью вектора к. Общий вид такого тензора

Скалярные функции называют соответственно продольной и поперечной проницаемостями. Если поле Е потенциально, то для плоской волны Е параллельно волновому вектору ) и тогда . Если же поле соленоидально то Е перпендикулярно волновому вектору, и тогда

Напомним (ср. VIII § 83), что при таком описании свойств среды уже не имеет смысла разделение среднего значения микроскопической плотности тока ( — плотность зарядов) на две части: , где — электрическая поляризация, а М — намагниченность среды. Другими словами, уравнения Максвелла записываются в виде

без введения (наряду с магнитной индукцией В—средним значением микроскопической напряженности магнитного поля) еще и вектора Н. Все члены, возникающие в результате усреднения микроскопических токов, предполагаются включенными в определение

Больший интерес в применениях представляет продольная проницаемость, для которой мы и выведем операторное выражение. Оно получается путем рассмотрения отклика системы на стороннее (т. е. созданное сторонними по отношению к системе источниками) потенциальное электрическое поле . Оператор взаимодействия системы с этим полем записывается как

где — оператор плотности заряда в системе. Сопоставив это выражение с общей формулой (75,8) и рассматривая как «обобщенную силу» , сразу находим, согласно формулам (75,9-11), для фурье-компонент по времени от средней плотности зарядов

Перейдя здесь также и к фурье-компонентам по пространству и учтя, что в силу однородности системы среднее значение коммутатора зависит только от разности , получим

где

Средняя плотность зарядов связана с вектором поляризации среды соотношением (см. VIII § 6). Для фурье-компонент отсюда следует.

С другой стороны, , где — плотность зарядов, создающих стороннее поле; индукция же D связана с этой плотностью уравнением Из этих двух уравнений находим

Наконец, подставив эти выражения в (84,6), получим искомое выражение продольной проницаемости

Под в (84,7) следует понимать, строго говоря, оператор плотности зарядов всех частиц в системе — электронов и ядер. Обычно, однако, во всем существенном интервале значений шик вклад в проницаемость вносят главным образом электроны; поэтому под можно понимать где — оператор электронной плотности, а среднее значение.

Формулу (84,7-8) можно преобразовать еще дальше, выразив ее через матричные элементы фурье-компонент оператора . Для этого предварительно переписываем (84,7) в виде

(V — объем системы). Матричные элементы гейзенберговского оператора выражаются через матричные элементы шредингеровского оператора согласно

Раскрыв произведение операторов по правилу матричного умножения и произведя интегрирование согласно (31,21), получим окончательно

где индекс 0 относится к заданному состоянию, для которого ищется проницаемость.