§ 34. Распад квазичастиц

Конечная продолжительность жизни (затухание) квазичастицы в квантовой жидкости может быть связана как с ее столкновениями с другими квазичастицами, так и с ее самопроизвольным распадом на две (или более) новые квазичастицы. При температуре первый источник затухания исчезает (так как вероятность столкновений стремится к нулю вместе с плотностью числа квазичастиц), и тогда затухание возникает лишь от распада квазичастиц.

Рассмотрим распад квазичастицы (с импульсом ) на две. Если -импульс одной из возникающих квазичастиц, то импульс другой есть и закон сохранения энергии дает условие

Может оказаться, что в некоторой области значений это равенство не выполняется ни при каких q; тогда квазичйстицы в этой области будут вообще не затухающими (если, конечно, невозможен также и распад на большее число квазичастиц). По мере изменения затухание возникает при значении (порог распада), при котором впервые появляются корни уравнения (34,1).

Отметим прежде всего, что в точке правая сторона равенства (34,1), как функция от q, имеет экстремум. Действительно, пусть экстремальное значение суммы при заданном есть (для определенности будем считать, что это — минимум). Тогда в уравнении

правая сторона неотрицательна. Поэтому уравнение заведомо не имеет корней при значениях , для которых корень появляется только в точке в которой

Представив уравнение (34,1) в симметричном виде

найдем, что условие экстремума его правой части можно записать как или

т. е. в пороговой точке две распадные квазичастицы имеют одинаковые скорости. Здесь можно различать несколько случаев (Л. П. Питаевский, 1959).

а) Скорость квазичастицы в бозе-жидкости равна нулю при импульсе отвечающем ротонному минимуму на кривой рис. 2. Поэтому если то это значит, что в точке порога квазичастица распадается на два ротона с импульсами и энергиями Д. Соответственно энергия распадающейся квазичастицы а ее импульс связан с условием , где — угол разлета двух ротонов. Отсюда следует, что во всяком случае должо быть

б) Если скорости причем соответствующие им импульсы конечны, то это значит, что распад в пороговой точке происходит на две квазичастицы с коллинеарными (параллельными или антипараллельными) импульсами.

в) Если же скорости отличны от нуля, но один из импульсов (скажем, ) стремится к нулю вблизи пороговой точки, то соответствующая ему квазичастица является фононом и скорость . В этом случае мы имеем дело с порогом, за которым становится возможным рождение квазичастицей фонона. В самой пороговой точке энергия фонона равна нулю, а скорость квазичастицы как раз достигает скорости звука (совпадая со скоростями ).

г) Наконец, еще один, особый случай представляет распад фонона на два фонона, причем порогом является сама начальная точка спектра Такой распад, однако, возможен лишь при определенном знаке кривизны начального (фононного) участка спектра: должно быть т. е. кривая должна загибаться вверх от начальной касательной . В этом легко убедиться, представив этот участок спектра в виде

учитывающем наряду с линейным также и следующий член разложения по степеням малого импульса. Уравнение сохранения энергии (34,1) дает тогда

Вблизи порога фонон испускается под малым углом 0 к направлению начального импульса квазичастицы ; в левой стороне уравнения имеем

а в правой достаточно положить Тогда находим

Отсюда видно, что должно быть

Мы увидим ниже (§ 35), что в сучаях а) и б) функция вообще не может быть продолжена за пороговую точку, оказывающуюся, таким образом, точкой окончания спектра. В случаях же в) и г) распад квазичастицы с испусканием длинноволнового фонона приводит к появлению слабого затухания, которое может быть определено с помощью теории возмущений.

Вычислим затухание фонона, связанное с его распадом на два фонона (случай ). Матричные элементы этого процесса имеются в членах третьего порядка в гамильтониане, дающихся выражением (24,12).

Для перехода из начального состояния с одним фононом в конечное состояние с фононами матричный элемент оператора возмущения равен

(индекс 0 у невозмущенной плотности опускаем). Обратим внимание на наличие множителя его малость (речь идет о распаде длинноволнового фонона) и обеспечивает применимость теории - возмущений.

Дифференциальная вероятность распада (в 1 сек) дается формулой

(см. III (43,1)). При подстановке сюда (34,7) возникает квадрат -функции; его надо понимать как

Остающаяся -функция устраняется интегрированием по положив также получим

(при независимом интегрировании по ответ должен быть поделен на 2 для учета тождественности двух фононов). Наконец, выразив аргумент -функции в виде (34,5) и произведя интегрирование по (по области ), найдем полную вероятность распада

Коэффициент затухания фонона . В частности, для почти идеального газа, согласно (25,11), величина не зависит от плотности.

В этом случае

(34,10)

(С. Т. Беляев, 1958).

Для процесса испускания фонона квазичастицей вблизи порога типа в) вид оператора возмущения устанавливается путем рассмотрения изменения энергии квазичастицы в звуковой волне. Это изменение складывается из двух частей:

Первый член связан с изменением плотности жидкости, от которой энергия квазичастицы зависит как от параметра. Второй член (в котором -скорость жидкости в звуковой волне) есть изменение энергии квазичастицы благодаря макроскопическому движению жидкости; поскольку длина волны испускаемого (вблизи порога) фонона велика по сравнению с длиной волны квазичастицы, можно считать, что последняя находится в однородном потоке жидкости, и тогда изменение ее энергии определяется, как было объяснено в начале § 23. Оператор возмущения получается из заменой вторично-квантованными операторами (24,10), а — оператором импульса квазичастицы

(34,11)

(во втором члене произведена симметризация роизведения для приведения его к эрмитову виду). Вычисле не вероятности испускания фонона производится далее аналогично тому, как это было сделано выше для распада фонона (см. задачу).