§ 20. Вывод связи между предельным импульсом и плотностью

Полученные в предыдущих параграфах соотношения позволяют дать последовательное доказательство основного положения теории ферми-жидкости Ландау: утверждения о том, что связь между предельным импульсом и плотностью жидкости дается той же формулой (1,1), что и для идеального газа.

Идея доказательства состоит в независимом-вычислении изменений N и при бесконечно малом изменении химического потенциала и затем их сравнении.

Согласно (7,24), полное число частиц (в заданном объеме V) как функция химического потенциала дается интегралом

Отсюда производная

Ввиду сходимости этого интеграла при больших при писать множитель в подынтегральном выражении уже не надо. После подстановки сюда из тождества (19,13) (просуммированного по ) находим

где для краткости

Цель дальнейшего вычисления состоит в том, чтобы выразить правую часть этого равенства через интеграл только по ферми-поверхности.

Прежде всего подставим вместо Г во втором интеграле выражение из (17,17) (заменив в нем обозначение на ):

Преобразуем сначала последний член. В его подынтегральном выражении от Q зависят только последние два множителя; интеграл от них по определяется (на ферми-поверхности, ) формулой (19,17), так что этот член принимает вид

Далее, вспомним, что при интегрировании по предельные значения надо понимать в смысле (17,10); поэтому , а

После этой замены получим

где, согласно (18,4), введена функция взаимодействия квазичастиц и использовано выражение через функцию согласно (2,6 — 7); черта над F означает интегрирование по Оставшийся интеграл по дается формулой (19,16), после чего интегрирование по дает еще множитель . В результате третий член в (20,3) оказывается равным

Аналогичным образом преобразуется второй член в (20,3): величины выражаются через согласно (20,4), после чего используются тождества (19,9) и (19,16). В результате этот член оказывается равным

Первый интеграл обращается в нуль при интегрировании по поскольку при

Наконец, первый член в (20,3) после подстановки в него (20,4) дает

Сложив теперь все вклады (20,5 — 7), найдем

С другой стороны, производная

согласно (2,15), равна

Подчеркнем, что при выводе (2,15) еще не использовалась конкретная зависимость от и поэтому мы имеем право применить здесь это соотношение с целью нахождения указанной зависимости (равенство (20,9) можно, конечно, получить и с помощью тех же соотношений для вершинных функций, которые были использованы при выводе (20,8)) .

С учетом этого равенства мы видим, что фигурная скобка в (20,8) обращается в нуль и, таким образом,

При мы имеем дело с газом, так что в этом пределе зависимость от во всяком случае должна совпадать с газовой. Этим условием устанавливается постоянная при интегрировании (20,10), и мы приходим, наконец, к искомому соотношению (1,1):