Главная > Теоретическая физика. Т. IX. Теория конденсированного состояния
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 18. Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квазичастиц

Подобно тому как в образовании матричного элемента (7,9), определяющего одночастичную функцию Грина, участвуют промежуточные состояния с числами частиц так в образовании двухчастичной функции Грина (матричный элемент (15,1)) участвуют промежуточные состояния с частицами.

Ввиду наличия промежуточных состояний с N ± 1 частицей двухчастичная функция Грина имеет полюсы, совпадающие с полюсами функции G, т. е. с энергией квазичастицы. Соответствующие множители, однако, выделены в (15,7) в явном виде. Поэтому определяемая этой формулой вершинная функция Г имеет лишь полюсы, соответствующие состояниям с N и N ± 2 частицами. Момент импульса этих состояний отличается от момента основного состояния на 0 или 1, так что отвечающие этим полюсам элементарные возбуждения имеют целый спин (0 или 1) и потому подчиняются статистике Бозе. Другими словами, полюсы вершинной функции определяют бозевские ветви энергетического спектра ферми-жидкости.

Полюсы, возникающие от промежуточных состояний без изменения числа частиц, отвечают элементарным возбуждениям, представляющим кванты нулевого звука. В диаграммной технике промежуточным состояниям отвечают различные сечения диаграмм, разделяющие их на две части между теми или иными из ее внешних концов.

В данном случае промежуточным состояниям без изменения числа частиц отвечают сечения диаграмм (17,3) по одной из пар сплошных линий, соединяющих соседние блоки Г; неизменность числа частиц в этих состояниях Выражается одинаковостью числа линий, пересекающих сечение в ту и другую стороны. Перенос 4-импульса через такое сечение есть соответственно этому, элементарным возбуждениям без изменения числа частиц отвечают полюсы вершин ной функции по переменной К-

Мы видели выше (при выводе (17,10)), что из двух импульсов q и (входящих в -векторы Q и ) один должен быть больше, а другой меньше предельного импульса . С другой стороны, при возбуждении из основного состояния вне ферми-сферы могут быть только «частицы», а внутри нее — только «дырки». В этом смысле можно сказать, что нулевые возбуждения в ферми-жидкости можно рассматривать как связанные состояния частицы и дырки.

Элементарные же возбуждения, отвечающие промежуточным состояниям с частицами (им соответствуют полюсы функции ) по переменной можно было бы рассматривать как связанные состояния двух частиц или двух дырок. Наличие таких состояний, однако, привело бы (как будет показано в главе V) к сверхтекучести ферми-жидкости, что, в свою очередь, требует существенного изменения всего математического аппарата диаграммой техники.

Таким образом, для определения бозевской ветви энергетического спектра несверхтекучей ферми-жидкости надо исследовать полюсы вершинной функции по переменной к). При каждом значении к полюсу отвечает определенная энергия , чем и определяется закон дисперсии этих возбуждений. Для слабо возбужденных состояний со и к малы, так что можно использовать уравнения, полученные для функции в области малых значений К.

Вблизи полюса функции Г левая сторона и интеграл в правой стороне уравнения (17,15) сколь угодно велики; член же остается конечным и потому может быть опущен. Далее замечаем, что переменная а также индексы и S не затрагиваются операциями, производимыми в уравнении (17,15) над функцией Г, т. е. играют в нем роль несущественных параметров. Наконец, мы будем рассматривать функцию Г на поверхности ферми-сферы, т. е. положим где — переменный единичный вектор.

Имея все это в виду, заключаем, что определение звуковых возбуждений в ферми-жидкости сводится к задаче о собственных значениях интегрального уравнения

где — вспомогательная функция.

Преобразуем это уравнение, введя вместо новую функцию

Тогда уравнение (18,1) примет вид

(обозначение 1 заменено на

Это уравнение по форме в точности совпадает с кинетическим уравнением (4,10) для колебаний ферми-жидкости. Сравнение обоих уравнений приводит к следующему соответствию между функцией взаимодействия квазичастиц и функцией

Тем самым выясняется связь между функцией и свойствами рассеяния квазичастиц.

Равенство (18,4) связывает с амплитудой нефизического процесса рассеяния. Воспользуемся теперь формулой (17,17) и получим с ее помощью явное соотношение между f и «физической» амплитудой рассеяния вперед для квазичастиц на ферми-поверхности, которую обозначим как

Соотношение (17,17) на ферми-поверхности принимает вид

Спиновая зависимость функций может быть выражена с помощью матриц Паули о. В общем случае эти функции могут содержать любые скалярные комбинации четырех векторов

Но если взаимодействие между частицами является обменным, то допустимыми скалярными произведениями являются лишь и . Тогда функции А и f можно представить (как это было уже сделано для f в (2,4)) в виде

где коэффициенты F, G, В, С — функции только от угла между Эти функции разлагаем по полиномам Лежандра

Подставив (18,7-8) в (18,6) и вычислив интеграл (используя при этом теорему сложения для полиномов Лежандра), получим

Этими формулами устанавливается простая алгебраическая связь между коэффициентами разложений и А.

Условия устойчивости (2,19-20) приводят к аналогичным неравенствам для коэффициентов

(18,10)

Кроме того, эти коэффициенты удовлетворяют соотношению, являющемуся следствием формулы (17,19): или

(18,11)

Равенства (18,9) и (18,11) вместе с условиями (18,10) достаточны для доказательства интересного утверждения: во всякой устойчивой ферми-жидкости существует по крайней мере одна ветвь (обычная или спиновая) аксиально-симметричного нулевого звука.

1
Оглавление
email@scask.ru