§ 18. Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квазичастиц

Подобно тому как в образовании матричного элемента (7,9), определяющего одночастичную функцию Грина, участвуют промежуточные состояния с числами частиц так в образовании двухчастичной функции Грина (матричный элемент (15,1)) участвуют промежуточные состояния с частицами.

Ввиду наличия промежуточных состояний с N ± 1 частицей двухчастичная функция Грина имеет полюсы, совпадающие с полюсами функции G, т. е. с энергией квазичастицы. Соответствующие множители, однако, выделены в (15,7) в явном виде. Поэтому определяемая этой формулой вершинная функция Г имеет лишь полюсы, соответствующие состояниям с N и N ± 2 частицами. Момент импульса этих состояний отличается от момента основного состояния на 0 или 1, так что отвечающие этим полюсам элементарные возбуждения имеют целый спин (0 или 1) и потому подчиняются статистике Бозе. Другими словами, полюсы вершинной функции определяют бозевские ветви энергетического спектра ферми-жидкости.

Полюсы, возникающие от промежуточных состояний без изменения числа частиц, отвечают элементарным возбуждениям, представляющим кванты нулевого звука. В диаграммной технике промежуточным состояниям отвечают различные сечения диаграмм, разделяющие их на две части между теми или иными из ее внешних концов.

В данном случае промежуточным состояниям без изменения числа частиц отвечают сечения диаграмм (17,3) по одной из пар сплошных линий, соединяющих соседние блоки Г; неизменность числа частиц в этих состояниях Выражается одинаковостью числа линий, пересекающих сечение в ту и другую стороны. Перенос 4-импульса через такое сечение есть соответственно этому, элементарным возбуждениям без изменения числа частиц отвечают полюсы вершин ной функции по переменной К-

Мы видели выше (при выводе (17,10)), что из двух импульсов q и (входящих в -векторы Q и ) один должен быть больше, а другой меньше предельного импульса . С другой стороны, при возбуждении из основного состояния вне ферми-сферы могут быть только «частицы», а внутри нее — только «дырки». В этом смысле можно сказать, что нулевые возбуждения в ферми-жидкости можно рассматривать как связанные состояния частицы и дырки.

Элементарные же возбуждения, отвечающие промежуточным состояниям с частицами (им соответствуют полюсы функции ) по переменной можно было бы рассматривать как связанные состояния двух частиц или двух дырок. Наличие таких состояний, однако, привело бы (как будет показано в главе V) к сверхтекучести ферми-жидкости, что, в свою очередь, требует существенного изменения всего математического аппарата диаграммой техники.

Таким образом, для определения бозевской ветви энергетического спектра несверхтекучей ферми-жидкости надо исследовать полюсы вершинной функции по переменной к). При каждом значении к полюсу отвечает определенная энергия , чем и определяется закон дисперсии этих возбуждений. Для слабо возбужденных состояний со и к малы, так что можно использовать уравнения, полученные для функции в области малых значений К.

Вблизи полюса функции Г левая сторона и интеграл в правой стороне уравнения (17,15) сколь угодно велики; член же остается конечным и потому может быть опущен. Далее замечаем, что переменная а также индексы и S не затрагиваются операциями, производимыми в уравнении (17,15) над функцией Г, т. е. играют в нем роль несущественных параметров. Наконец, мы будем рассматривать функцию Г на поверхности ферми-сферы, т. е. положим где — переменный единичный вектор.

Имея все это в виду, заключаем, что определение звуковых возбуждений в ферми-жидкости сводится к задаче о собственных значениях интегрального уравнения

где — вспомогательная функция.

Преобразуем это уравнение, введя вместо новую функцию

Тогда уравнение (18,1) примет вид

(обозначение 1 заменено на

Это уравнение по форме в точности совпадает с кинетическим уравнением (4,10) для колебаний ферми-жидкости. Сравнение обоих уравнений приводит к следующему соответствию между функцией взаимодействия квазичастиц и функцией

Тем самым выясняется связь между функцией и свойствами рассеяния квазичастиц.

Равенство (18,4) связывает с амплитудой нефизического процесса рассеяния. Воспользуемся теперь формулой (17,17) и получим с ее помощью явное соотношение между f и «физической» амплитудой рассеяния вперед для квазичастиц на ферми-поверхности, которую обозначим как

Соотношение (17,17) на ферми-поверхности принимает вид

Спиновая зависимость функций может быть выражена с помощью матриц Паули о. В общем случае эти функции могут содержать любые скалярные комбинации четырех векторов

Но если взаимодействие между частицами является обменным, то допустимыми скалярными произведениями являются лишь и . Тогда функции А и f можно представить (как это было уже сделано для f в (2,4)) в виде

где коэффициенты F, G, В, С — функции только от угла между Эти функции разлагаем по полиномам Лежандра

Подставив (18,7-8) в (18,6) и вычислив интеграл (используя при этом теорему сложения для полиномов Лежандра), получим

Этими формулами устанавливается простая алгебраическая связь между коэффициентами разложений и А.

Условия устойчивости (2,19-20) приводят к аналогичным неравенствам для коэффициентов

(18,10)

Кроме того, эти коэффициенты удовлетворяют соотношению, являющемуся следствием формулы (17,19): или

(18,11)

Равенства (18,9) и (18,11) вместе с условиями (18,10) достаточны для доказательства интересного утверждения: во всякой устойчивой ферми-жидкости существует по крайней мере одна ветвь (обычная или спиновая) аксиально-симметричного нулевого звука.