ГЛАВА V. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ

§ 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр

Вся изложенная в главе I теория Ландау относится только к одной категории ферми-жидкостей к жидкостям, обладающим энергетическим спектром, не приводящим к явлению сверхтекучести. Этот тип спектров не является единственной возможностью для квантовой ферми-жидкости, и мы переходим теперь к изучению ферми-систем со спектром другого типа. Происхождение этого типа энергетических спектров и его основные свойства можно наиболее наглядным образом выяснить на простой модели, допускающей полное теоретическое исследование вырожденном почти идеальном ферми-газе с притяжением между частицамих).

Слабо неидеальный ферми-газ с отталкиванием между частицами был рассмотрен в § 6. На первый взгляд, произведенные там вычисления в равной степени справедливы как для случая отталкивания, так и для притяжения между частицами, т. е. как при положительной, так и при отрицательной длине рассеяния а. В действительности, однако, в случае притяжения найденное таким образом основное состояние системы оказывается неустойчивым по отношению к определенной перестройке, меняющей его характер и понижающей энергию.

Физическая природа этой неустойчивости состоит в стремлении частиц к «спариванию»: образованию связанных состояний парами частиц, находящихся (в -пространстве) вблизи ферми-поверхности и обладающих равными по величине и противоположными по направлению импульсами и антипараллельными спинами так называемый эффект Купера (L. N. Cooper, 1957). Замечательно, что этот эффект возникает в ферми-газе уже при сколь угодно слабом притяжении между частицами.

Именно в силу этого эффекта использованная в задаче о ферми-газе с отталкиванием система операторов соответствующих свободным состояниям отдельных частиц газа, не может служить теперь правильным исходным приближением теории возмущений.

Вместо них надо уже сразу ввести новые операторы, которые будем искать в виде линейных комбинаций

объединяющих операторы частиц с противоположными импульсами и спинами (индексы относятся к двум значениям проекции спина); в силу изотропии газа коэффициенты могут зависеть только от абсолютной величины импульса . Для того чтобы эти новые операторы отвечали рождению и уничтожению квазичастиц, они должны удовлетворять таким же правилам коммутации Ферми, как и старые операторы:

а все другие пары операторов антикоммутативны (индекс а нумерует два значения проекции спина). Для этого коэффициенты преобразования должны удовлетворять условию

(ир, vp могут быть сделаны вещественными надлежащим выбором фазового множителя). При этом обратное (по отношению к ) преобразование имеет вид

По тем же причинам (основной роли взаимодействия между парами частиц с противоположными импульсами и спинами) мы сохраним в гамильтониане (6,7) во второй сумме лишь члены, в которых

где снова введена «константа связи» (длина рассеяния ).

В дальнейших вычислениях будет удобно снова воспользоваться обычным приемом, позволяющим избавиться от необходимости явным образом учитывать постоянство числа частиц в системе: в качестве нового гамильтониана вводится разность где

— оператор числа частиц; химический потенциал определяется затем, в принципе, условием равенства среднего значения N заданному числу частиц в системе.

Введем также обозначение

Поскольку то вблизи поверхности Ферми

где . Вычитая из выражения (39,5), напишем, таким образом, исходный гамильтониан в виде

Произведем в этом гамильтониане преобразование (39,4). Используя соотношения (39,2-3) и возможность замены индекса суммирования на , получим

Выбор коэффициентов осуществим теперь из условия минимальности энергии Е системы при заданной энтропии. Последняя определяется комбинаторным выражением

Поэтому указанное условие эквивалентно минимизации энергии при заданных числах заполнения квазичастиц пра.

В гамильтониане (39,9) диагональные матричные элементы имеют лишь члены, содержащие произведения

Поэтому находим

(39,10)

Варьируя это выражение по параметрам (учитывая при этом связь (39,3)), получим в качестве условия минимума

Отсюда находим уравнение

(39,11)

где А обозначает сумму:

(39,12)

Из (39,11) и (39,3) выражаем через и А:

(39,13)

Подставив же эти значения в (39,12), получим уравнение, определяющее А:

В равновесии числа заполнения квазичастиц не зависят от направления спина и даются формулой распределения Ферми (с равным нулю химическим потенциалом — ср. примечание на стр. 18):

(39,14)

Перейдя также от суммирования к интегрированию по -пространству, запишем это уравнение в виде

(39,15)

Обратимся к исследованию полученных соотношений. Мы увидим, что величина играет основную роль в теории спектров рассматриваемого типа.

Вычислим прежде всего значение этой величины при Т = 0 (обозначим его ).

При квазичастицы отсутствуют, так что уравнение (39,15) принимает вид

Сразу же отметим, что это уравнение заведомо не могло бы иметь решения (для ) при , т. е. в случае отталкивания (знаки обеих сторон уравнения были бы заведомо различны).

Основной вклад в интеграл в (39,16) вносит область импульсов, в которой и интеграл имеет логарифмический характер (малость по сравнению с подтверждается результатом). Обрезая логарифмический интеграл при некотором имеем

Поэтому находим

откуда

(39,18)

Это выражение можно записать также и в виде

(39,19)

где — энергетическая плотность числа состояний частицы на ферми-поверхности — число состояний в интервале

Наибольший интерес представляет форма энергетического спектра системы—энергия элементарных возбуждений найдем ее по изменению энергии всей системы при изменении чисел заполнения квазичастиц, т. е. проварьировав Е из (39,10) по . Поскольку значения уже выбраны из условия равенства нулю производных от Е по ним, то варьирование Е по пра можно производить при постоянных

Таким образом,

Вычисление производной с использованием (39,11—13) приводит к простому результату:

(39,20)

Мы видим, что энергия квазичастицы не может быть меньше величины А, достигаемой при Другими словами, возбужденные состояния системы отделены от основного энергетической щелью. Обладая полуцелым спином, квазичастицы должны появляться парами. В этом смысле можно сказать, что величина щели равна Обратим внимание на экспоненциальную малость этой величины: поскольку , то экспоненциально мало по сравнению с . Отметим также, что выражение (39,18) не может быть разложено по степеням малого параметра — константы связи g; последняя входит в знаменатель показателя экспоненты, так что значение является существенно особой точкой функции

Рис. 5.

Спектр (39,20) удовлетворяет установленному в § 23 условию сверхтекучести: минимальное значение отлично от нуля. Поэтому ферми-газ с притяжением между частицами должен обладать свойством сверхтекучести.

На рис. 5 сравнены законы дисперсии квазичастиц в сверхтекучей (верхняя кривая) и нормальной ферми-системах. В последней этот закон изображается (в соответствии с указанной в конце § 1 трактовкой) двумя прямыми

Величина щели А зависит от температуры, т. е. сама форма спектра зависит от статистического распределения квазичастиц — ситуация, аналогичная тому, что имеет место для ферми-жидкости нормального типа. Поскольку при возрастании температуры числа заполнения квазичастиц возрастают (стремясь к 1), то уже из уравнения (39,15) видно, что А при этом уменьшается и при некоторой конечной температуре обратится в нуль: система перейдет из сверхтекучего состояния в нормальное. Эта точка представляет собой фазовый переход второго рода (подобный переходу в сверхтекучей бозе-жидкости).

Наличие энергетической щели в спектре вырожденного ферми-газа и является выражением эффекта «спаривания», о котором уже говорилось в начале параграфа.

Величину можно рассматривать как энергцю связи куперовской пары, которую надо затратить для ее разрыва.

Гамильтониан (39,5) учитывает (как уже было отмечено в § 6) взаимодействие лишь между парами частиц, находящимися в синглетном s-состоянии: орбитальный момент относительного движения частиц равен нулю, а их спины антипараллельны. Обладая равным нулю полным спином, пары ведут себя как бозевские образования и могут накапливаться в конечном числе на уровне (своего движения как целого) с наименьшей энергией уровне с равным нулю суммарным импульсом. В таком наглядном истолковании это явление вполне аналогично накапливанию частиц в состоянии с нулевой энергией (бозе-эйнштей-новской конденсации) в бозе-газе; в данном случае конденсатом является совокупность спаренных частиц.

Представлению о связанных парах не следует, конечно, придавать слишком буквальный смысл. Более точно следует говорить о корреляции между состояниями пары частиц в -пространстве, приводящей к конечной вероятности частицам иметь равную нулю сумму импульсов. Разброс значений импульсов в области корреляции соответствует энергии порядка А, т. е. Соответствующая длина определяет порядок величины расстояний между частицами с коррелированными импульсами. При эта длина (ее называют длиной когерентности)

Поскольку в вырожденном ферми-газе совпадает по порядку величины с межатомными расстояниями, то мы видим, что очень велико по сравнению с последними. Это обстоятельство в особенности наглядно демонстрирует условность понятия о связанных парах.

Происхождение эффекта Купера тесно связано с существованием ферми-поверхности, ограничивающей (в -пространстве) конечную область заполненных (при состояний; важное обстоятельство состоит в том, что энергетическая плотность числа состояний на этой поверхности отлична от нуля. Эта связь проявляется в формуле (39,19) для величины щели обращающейся в нуль при