1.8. Минимумы

Как уже отмечалось, минимум

задается простым соотношением

так что предельные результаты для минимумов очевидным образом получаются из соответствующих результатов для максимумов. Это будет использовано ниже при получении возможных предельных распределений для минимумов. Однако некоторые довольно очевидные факты вытекают, по существу непосредственно, как частные случаи следующего аналога теоремы 1.5.1.

Теорема 1.8.1. Пусть последовательность н. о. р. с. в. Пусть и последовательность вещественных чисел такова, что

Тогда

Обратно, если (1.8.2) выполняется для некоторого то выполняется и (1.8.1).

Доказательство. Этот результат доказывается точно таким же образом, как и теорема 1.5.1, если заметить, что

Легко также видеть, что события асимптотически независимы (и поэтому таковы же и события если последовательности удовлетворяют соотношениям (1.5.1) и (1.8.1), соответственно.

Теорема 1.8.2. Предположим, что последовательности удовлетворяют соответственно соотношениям (1.5.1) и (1.8.1). Тогда

так что, согласно теореме

Кроме того, согласно теоремам 1.5.1 и 1.8.1, мы имеем и то же самое соотношение выполняется, если заменить на

Доказательство. Вероятность в (1.8.3) равна

если так что отсюда вытекает нужный результат. Случаи, где или бесконечны, довольно просты, поскольку если, например, то

В качестве следствия мы непосредственно получаем, что если имеют предельные распределения при линейных нормализациях, то тогда их совместное предельное распределение является произведением этих предельных распределений.

Теорема 1.8.3. Предположим, что для некоторых последовательностей констант

Тогда

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из теоремы 1.8.2, в которой отождествляются с и соответственно.

Последний вопрос этого раздела связан с невырожденными распределениями которые возможны в (1.8.6). Как было предложено выше, их можно получать из известных результатов для максимумов, охватываемых теоремой об экстремальных типах. Возможные предельные законы образуют здесь класс минимум-устойчивых распределений, имеющих которых для каждого существуют такие константы что

Теорема (экстремальные типы для минимумов). Пусть где случайные величины. Если для некоторых констант мы имеем сходимость

к некоторой невырожденной то эта принадлежит одному из следующих трех типов экстремальных распределений для минимумов".

(Как и в случае максимумов, для каждого типа допустимы преобразования аргумента вида Минимум-устойчивые распределения совпадают с распределениями, приведенными в (i).

Доказательство, (i) Предположим, что выполнено (1.8.9), так что, обозначая

имеем

где сходимость имеет место во всех точках х непрерывности ф. p. G. Но для каждого такого х и всех таких что функция непрерывна также в точке в силу неравенств

имеем, устремляя и затем

Таким образом, является одной из трех ф. р. экстремальных (максимальных) значений. Поскольку

три перечисленные выше формы для вытекают из трех возможных форм для указываемых теоремой об экстремальных типах.

(ii) Если ф. p. F минимум-устойчива и выполняется (1.8.8), то ф. р.

удовлетворяет неравенствам для всех и поэтому

и

для любого Поскольку функции и непрерывны справа, отсюда следует, что так что ф. p. G максимум-устойчива. Тогда по теореме 1.4.1 она является одной из трех функций распределения экстремальных значений для максимума. Это доказывает часть (ii).

Заметим, что пределом типа III для минимума является распределение Вейбулла, содержащее как частный случай при показательное распределение. Отметим также, что поскольку ф. р. для — является, очевидно, то критерии для областей притяжения для максимумов можно легко приспособить и для минимумов (заменяя «хвост» на или фактически на Условие для предела типа II принимает

при этом следующий вид (для распределения не ограниченного слева):

С соответствующими модификациями аналогично рассматриваются другие случаи.