5.7. Полная пуассоновская сходимость

В предшествующих результатах о сходимости точечного процесса мы получили предельный точечный процесс, образованный превышениями фиксированного количества возрастающих уровней. Предельный процесс не был пуассоновским процессом на плоскости, хотя и был образован последовательно все более сильно прореженными пуассоновскими процессами на прямых.

С другой стороны, мы можем рассмотреть саму выборочную последовательность после надлежащего преобразования обеих координат как точечный процесс на плоскости и, несколько усиливая исходные предположения, показать, что этот процесс сходится к пуассоновскому процессу на плоскости. Эта процедура была использована для независимых с. в., например, в работах Пикандса (1971) и Резника (1975) и впоследствии для стационарных последовательностей Эдлером (1978), который использовал линейную нормализацию значений процесса с теми же константами что и для асимптотического распределения Здесь мы рассмотрим чуть более общий случай.

Именно, в стандартныхобозначениях предположим, что определено для так что эта функция непрерывна и строго убывает пот для каждого и удовлетворяет (1.5.1), а именно

Например, таковым является выбор если имеет предельную ф. p. G.

Мы будем использовать здесь символ для обозначения точечного процесса на плоскости, образованного точками где обозначает функцию, обратную для (определенную на области значений случайных величин

Теорема 5.7.1. Предположим, что определенные выше удовлетворяют соотношению (5.7.1) и что условие выполняется

для каждого а условие выполняется для каждого для каждого набора Тогда точечные процессы состоящие из точек сходятся к пуассоновскому процессу на мера интенсивности которого равна мере Лебега.

Доказательство. Этот результат относительно просто получить, используя предшествующую теорию о превышении уровней. Будет удобно и допустимо в данном случае использовать прямоугольники, замкнутые снизу и открытые сверху, так что нам надо показать, что

(a) для всех множеств В вида и

(b) для множеств В, являющихся конечными объединениями множеств указанного вида.

Далее, (а) получается просто, поскольку если то

в то время как

Чтобы доказать заметим, что любое конечное объединение указанных прямоугольников можно представить в виде где не пересекаются, является конечным объединением непересекающихся интервалов, (см. доказательство теоремы 5.5.1). Предположим сначала, что имеется ровно одно множество т. е. где мы записываем и где, очевидно, можем взять

Далее, означает, что ни для какого не существует такого для которого бы т. е. такого, что Но это равносильно утверждению, что для превышает столько же раз, сколько она превышает Иными словами, если обозначить через число превышений случайными величинами для то

Но процесс является в точности тем же, что и в теореме 5.5.1, и следствии из нее, а их условия, очевидно, выполняются. Таким образом, в соответствии со следствием 5.5.2 (ii) мы имеем

где представляют собой последовательно прореживаемых пуассоновских процессов на фиксированных прямых, определенных перед теоремой 5.5.1. Поскольку все с. в. целочисленные, то в качестве очевидного упражнения о сходимости в можно показать, исходя из (5.7.3), что вероятность попарных равенств в (5.7.2) сходится к такой же вероятности, в которой заменяется на Поэтому

Из обсуждения, предварявшего теорему 5.5.1, видно, что события, заключенные в скобки в правой части, наблюдаются, если соответствующее каждому событию пуассоновского процесса на четно, т. е. Поскольку если и равна если то, обозначив

получаем

где мера Лебега, поскольку

Следовательно, (b) выполняется для Если то применимо то же самое доказательство, использующее полное утверждение следствия 5.5.2 и несколько более сложную систему обозначений, связанную с тем, что для дополнительных множеств понадобятся и дополнительные В приведенной теореме требуется, конечно, чтобы Если бы для некоторой функции можно

было выбрать как функцию таким образом, что то мы имели бы и В таком случае было бы естественным рассмотреть точечный процесс, образованный точками а не точками В частности, если к асимптотическому распределению приводит линейная нормализация, т. е. то мы имеем и тогда естественно рассматривать точечный процесс состоящий из точек Именно такой случай был исследован у Эдлера (1978), где было показано наличие (неоднородного) пуассоновского предела. Мы получаем здесь этот результат как следствие из теоремы 5.7.1.

Теорема 5.7.2. Предположим, что выполнено (5.3.3), т. е. для некоторой невырожденной ф. p. G, и пусть Предположим, что условие выполняется для всех последовательностей а условие выполняется для всех и всех последовательностей с произвольным выбором Тогда если обозначает точечный процесс на плоскости, образованный точками то на где пуассоновский процесс, мера интенсивности которого является произведением меры Лебега и меры, определяемой возрастающей функцией

Доказательство. В силу теоремы 3.4.1, условия теоремы 5.7.1 выполнены, и поэтому в обозначениях теоремы Но если имеет атом в точке то имеет атом в точке гдет Следовательно, по теореме П.З (i), где получается из пуассоновского процесса заменой атомов в точках атомами в точках Согласно теореме П.2 (ii), процесс также является пуассоновским и его мера интенсивности определяется соотношением

из которого вытекает искомый результат. (Заметим, что поскольку С является распределением экстремального значения, то функция непрерывна и строго убывает там, где

Отметим, что в отличие от предшествующих результатов нижняя граница множества должна быть здесь исключена. В противном случае если конечно, то множество было бы ограниченным (в смысле, указанном на с. 352). Тогда величина была бы почти наверное бесконечной, так что

не являлся бы точечным процессом. Подобное замечание используется и в теореме 5.8.1, приводимой ниже. Заметим, наконец, что все результаты, вытекающие из теоремы 5.5.1 для нескольких уровней, могут быть получены и из последних двух теорем, однако сделанные предположения о выполнении условий являются соответственно более сильными.