6.1. Нестационарные нормальные последовательности

Пусть нормальная (в общем случае нестационарная) последовательность с произвольными средними и дисперсиями и корреляциями Мы будем иметь дело с условиями, при которых

где постоянные, определяемые для В этом разделе мы рассмотрим общие формы для постоянных и получим результат (теорема 6.1.3), указывающий условия, при которых (6.1.1) выполняется. Более детальное рассмотрение в разд. 6.2 со специальным выбором приведет к результатам относительно асимптотических распределений максимумов. Еще более общая форма теоремы 6.1.3 будет приведена в разд. 6.3. Этот результат был доказан в работе Хюслера (1981) для стационарных последовательностей при условиях, обобщающих Проводимое нами здесь доказательство для нестационарных нормальных последовательностей использует вариант интересного и довольно тонкого оценивания, выполненного Хюслером (1981).

Ясно, что стандартизуя каждую с. в. и соответственно заменяя на мы можем предполагать в (6.1.1). что каждая ; имеет нулевое среднее, единичную дисперсию, а корреляционная структура та же. Разумеется, в приложениях всякие условия, накладываемые на должны быть трансформированы, с тем чтобы их можно было применить к исходным формам Поэтому, если не оговаривается противное, мы предполагаем, что каждая имеет нулевое среднее и единичную дисперсию.

В значительной части первых трех разделов мы предполагаем, что при корреляции удовлетворяют условию для некоторой последовательности такой что для — очевидное обобщение условия использовавшегося для стационарных последовательностей. Наши основные результаты будут связаны затем

с условиями на при которых ведут себя в том, что касается вероятности аналогично независимой последовательности, т. е.

Из этого результата при дополнительном предположении

будет следовать (6.1.1), что обобщает заключение теоремы 4.3.3 в стационарном случае.

Доказательства этих результатов непосредственно связаны с выкладками, подобными тем, которые использовались в лемме 4.3.2, и будут реализованы посредством использования нескольких лемм. В этом разделе при доказательстве (6.1.2) мы требуем, чтобы были такими, что сумма ограниченна, стремится к бесконечности со скоростью, по крайней мере кратной которая будет встречаться в наших применениях к максимумам в следующем разделе. В разд. 6.3 более тонкие доказательства, использующие идеи работы Хюслера (1981), дадут возможность обобщить этот результат на последовательности, для которых стремится к бесконечности, но не обязательно столь быстро, как некоторое кратное

Сначала приведем простую предварительную лемму, обобщающую теорему 1.5.1.

Лемма 6.1.1. Пусть такие постоянные, что Тогда для

в том и только в том случае, когда

Доказательство. Используя тот факт, что где для малых выполняется неравенство для можно показать, что

где

так что, очевидно,

Отсюда просто получаются оба утверждения леммы.

Введенные ранее в этом разделе обозначения будут далее использоваться без специальных оговорок.

Лемма 6.1.2. Пусть таковы, что сумма ограниченна, Предположим, что корреляции при удовлетворяют условию где некоторая постоянная. Тогда

где для любого Доказательство. Очевидно,

Экспоненциальные слагаемые не превосходят, соответственно

что дает для подходящей постоянной

поскольку Отсюда следует, что величина (для равномерно ограничена по убывает для достаточно больших х. Но сумма ограниченна, а и поэтому отсюда вытекает, что

Теперь легко доказать основной результат этого раздела.

Теорема 6.1.3. Предположим, что корреляции нормальной последовательности таковы, что при где для всех при Пусть постоянные таковы, что сумма ограниченна и для некоторого Тогда выполняется (6.1.2). Если, кроме того, для некоторого выполняется (6.1.3), то выполняется и (6.1.1), т. е.

Доказательство. Из сделанных предположений, очевидно, вытекают и предположения леммы 6.1.2, так что (задаваемая соотношением стремится к нулю при Обозначим

Поскольку то ясно, что не превосходит значения той же самой суммы при замене на и на где Обозначая , получаем отсюда

Определим теперь соотношением и разобьем сумму в фигурных скобках на две части, соответствующие значениям Это приводит к неравенству

правая часть которого стремится к нулю, поскольку , и выражение в фигурных скобках не превосходит величины которая ограниченна. Поскольку отсюда следует, что

Соотношение (6.1.2) получаем непосредственно из теоремы 4.2.1 (неравенство (4.2.3)), взяв в качестве независимые стандартные нормальные с. в. и произведя очевидные отождествления (используя тот факт, что при сделанных предположениях

Наконец, если для некоторого выполняется еще и (6.1.3), то лемма 6.1.1 показывает, что откуда в силу (6.1.2) вытекает (6.1.1).