5.6. Совместное асимптотическое распределение наибольших максимумов

Мы можем использовать полученные выше результаты для вывода асимптотических совместных распределений конечного числа наибольших максимумов вместе с их положениями, если это желательно. Такие результаты можно получить, рассматривая соответствующие непрерывные функционалы на последовательности Однако мы используем здесь более элементарный подход, приводя примеры типичных результатов. Сначала обобщим теоремы 2.3.1 и 2.3.2.

Теорема 5.6.1. Пусть уровни удовлетворяют соотношению (5.4.1), причем Предположим, что стационарная последоватегьность удовлетворяет условию и условиям для Пусть обозначает число превышений уровня величинами Тогда для при

Доказательство. В прежних обозначениях и поэтому, согласно следствию 5.5.2, левая часть (5.6.1) сходится к

где Но это есть вероятность того, что ровно событий пуассоновского процесса на прямой наблюдаются в единичном интервале и что из соответствующих принимают значение принимают значение Свойство независимости случайных величин показывает, что, когда значение суммы задано, количество тех которые принимают значения соответственно, имеет полиномиальное распределение, основанное на вероятностях Поэтому вероятность (5.6.2) равна

что и приводит к (5.6.1), поскольку

Разумеется, это согласуется с результатом теоремы 2.3.1. Следующий результат (также обобщающий теорему 2.3.2) приводится в качестве примера применения пуассоновской теории.

Теорема 5.6.2. Предположим, что

для некоторой невырожденной ф. p. G и что условия выполняются для Тогда справедливо утверждение теоремы 2.3.2, т. е. для

если (и стремится к нулю, если ).

Доказательство. Если то в силу сделанных предположений из теоремы 3.4.1 следует, что где если следовательно, Но очевидно, что

где — число превышений уровня случайными величинами Из теоремы 5.6.1 мы видим, что предел этих вероятностей равен

что и дает желаемый результат, когда Случай можно разобрать непосредственно, полагая или, возможно, наиболее простым способом вывести из непрерывности ф. p. G, мажорируя левую часть (5.6.4) ее значением, получаемым при замене на некоторое у, где

В качестве последнего примера выведем предельное совместное распределение второго максимума и его положения (используя левую точку, если два значения совпадают).

Теорема 5.6.3. Предположим, что выполнено условие (5.6.3) и условия выполняются для всех . Тогда если положение и высота второго наибольшего максимума соответственно, то для любого вещественного

Иначе говоря, положение и высота асимптотически независимы, причем положение распределено асимптотически равномерно.

Доказательство. Как и в предыдущей теореме, мы видим, что (5.4.1) выполняется с Пусть обозначают интервалы соответственно, обозначают максимальные

и вторые наибольшие значения в интервалах совместную ф. р. нормализованных случайных величин

То

где как и выше. С другой стороны, мы видим, что

где так что очевидное применение следствия Дает

где

для Теперь ясно, что

Но, согласно проведенным выкладкам, сходится по распределению к случайномувектору совместная функция распределения которого есть и эта ф. р., очевидно, абсолютно непрерывна, поскольку такова экстремального значения). Так как границы множеств в имеющих вид очевидно, имеют нулевую меру Лебега, отсюда следует, что сумма вероятностей в (5.6.7) сходится к

и, следовательно, левая часть (5.6.5) сходится к (5.6.8). Эту величину можно вычислить, используя совместное распределение И случайных величин задаваемое соотношением (5.6.6). Однако проще заметить, что мы получили бы тот же самый результат (5.6.8), если бы последовательность была н. о. р. Но предел в (5.6.5) вычислить для н. о. р. последовательности просто, приняв во внимание независимость и тот факт, что распределение в этом случае равномерно на Как легко показать, это приводит именно к пределу, указанному в (5.6.5).