Глава 9. Точечные процессы выходов и локальные максимумы

При построении теории для максимума стационарного нормального процесса изложенной в гл. 8, существенно использовались выходы и тот очевидный факт, что максимум превышает уровень и, если имеется хотя бы одно пересечение уровня и. Однако выходы интересны и сами по себе, и, как мы увидим здесь, они содержат также значительную информацию относительно локальной структуры процесса. Эта глава посвящена асимптотически пуассоновскому характеру точечного процесса пересечений возрастающих высоких уровней и точечного процесса, образованного локальными максимумами процесса

Конечно, когда предельная теория для максимума уже имеется, для доказательства пуассоновской сходимости последовательности выходов требуется лишь немного дополнительных усилий. Основной этап доказательств состоит в том, что максимумы на непересекающихся интервалах асимптотически независимы, откуда сходимость точечного процесса выходов за несколько уровней вытекает с использованием основной теоремы о сходимости точечного процесса. Это легко приводит затем к полной пуассоновской сходимости точечного процесса локальных максимумов и в качестве следствия к совместному асимптотическому распределению высот и положений наибольших локальных максимумов.

При изложении результатов мы будем существенно использовать условие регулярности которое гарантирует, что выходы не могут появляться группами и остаются отделенными друг от друга при возрастании уровня. Подобные результаты будут установлены в гл. 12 и для случая с заменой регулярных выходов так называемыми -выходами. Для результатов относительно локальных максимумов мы будем требовать дополнительно, чтобы что может быть аналогичным образом ослаблено путем замены максимумов на -максимумы.