9.1. Пуассоновская сходимость выходов

Соответственно каждому уровню и определим как среднее число выходов за и стационарного нормального процесса в единицу времени. Как и в гл. 8, рассмотрим такое что при и где фиксированное число. Пусть нормированный по времени точечный процесс выходов за уровень и, определяемый соотношением число выходов процесса за уровень и для В для любого вещественного борелевского В, т. е. имеет точку в момент если имеет выход за и в момент Заметим, что мы определяем как точечный процесс на всей вещественной прямой и что единственное назначение момента состоит здесь в том, что он является масштабным множителем. В этом проявляется некоторое смещение акцента по сравнению с гл. 8, где мы рассматривали в качестве нормировки высоты максимума на возрастающем интервале времени

Пусть пуассоновский процесс на вещественной прямой, имеющий интенсивность Чтобы доказать сходимость к точечного процесса при надлежащих условиях, необходимо доказать несколько различных форм асимптотической независимости максимумов на непересекающихся интервалах. Для

одноуровневого результата о сходимости по распределению нам достаточно только следующей частичной независимости (приведенной у Кволса (1968)).

Лемма 9.1.1. Пусть — фиксированные числа, Тогда если удовлетворяет (8.1.1) и (8.1.2), то

при

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству лемм 8.2.3 и 8.2.4. Вспомним конструкцию в лемме 8.2.3 и разобьем положительную полуось на интервалы имеющие попеременно длины Мы можем тогда аппроксимировать максимумом на частях отделенных интервалов содержащихся в Пусть обозначает число тех из которые имеют непустое пересечение с Сразу получаем

(где Е обозначает длину интервала

Поскольку из леммы вытекает, что

мы имеем

Далее, пусть при и таким образом, что Так же как и в лемме 8.2.3 (ii), получаем при этом дискретную аппроксимацию максимумов с помощью с. в.

Действительно, поскольку существует интервалов пересекающихся с то

в силу леммы 8.2.2 (ii). Далее,

где

Доказательство на сей раз является перефразировкой доказательства леммы 8.2.4 (i) ((8.1.2) влечет за собой (8.2.2) с вместо Комбинируя (9.1.1), (9.1.2) и (9.1.3), получаем

и, в частности, для

Поэтому, обозначая имеем

Но если обозначить (так что

Аналогичное соотношение выполняется и при перестановке поэтому

Поскольку произвольно, это доказывает лемму.

Теорема 9.1.2. Пусть и где и предположим, что стационарный нормальный процесс удовлетворяет соотношениям (8.1.1) и (8.1.2). Тогда нормированный во времени точечный процесс выходов за уровень и сходится по распределению к пуассоновскому процессу на положительной полуоси, имеющему интенсивность

Доказательство. Согласно основной теореме о сходимости, для простых точечных процессов (теорема П. 1) достаточно показать, что при

для всех множеств В вида

Здесь часть (а) выполняется тривиальным образом, поскольку

Что касается части то мы имеем для выходов за уровень и

где Теперь легко показать, что вместо пересечений можно работать с максимумами, поскольку

Далее, из леммы 9.1.1 и следствия 8.2.6 вытекает, что

Таким образом, мы доказали часть (b).

Одним из непосредственных следствий сходимости по распределению является асимптотическая пуассоновость распределения числа выходов за уровень и в возрастающих борелевских множествах

Следствие 9.1.3. В условиях теоремы 9.1.2 если В — произвольное борелевское множество на положительной полуоси, граница которого имеет нулевую меру Лебега, то

при где мера Лебега множества В. Совместное распределение с. в. соответствующих непересекающимся (границы которых имеют нулевую меру Лебега), сходится к произведению соответствующих пуассоновских вероятностей.