13.3. Сопровождающая последовательность независимых величин
Несколько смещая акценты гл. 3, будем говорить, что всякая
последовательность н. о. р. случайных величин 
маргинальная ф. p. F которых удовлетворяет соотношению
для 
является сопровождающей независимой последовательностью для 
Если выполнено (13.1.9), то это, очевидно, равносильно требованию
Теорему 13.2.3 можно тогда следующим образом связать с соответствующим результатом для н. о. р. последовательностей.
Теорема 13.3.1. Пусть 
такое семейство констант, что выполнены условия теоремы 13.2.3, и пусть 
сопровождающая независимая последовательность, и 
Если
то
Обратно, если (13.3.3) выполняется для некоторой последовательности 
то (13.3.2) выполняется для всякой последовательности 
для которой 
при условии что выполнены условия теоремы 13.2.3.
Доказательство. Если выполнено (13.3.2) и 
то теорема 13.2.3 и соотношение (13.3.1) дают
так что 
а это приводит к (13.3.3). Обратно, из (13.3.3) и (13.3.1) вытекает, что 
и поэтому
так что (13.3.2) верно в силу теоремы 13.2.3.
Эти результаты показывают, как можно использовать функцию 
в классических критериях для областей притяжения, чтобы определить асимптотическое распределение для 
Мы используем обозначение 
для области притяжения ф. р. (экстремального значения) С, т. е. для множества всех ф. p. F, таких, что 
для некоторых последовательностей 
Теорема 13.3.2 Предположим, что условия теоремы 13.2.3 выполняются для всех семейств вида 
где 
заданные постоянные, и что
Тогда (13.3.1) выполняется для некоторого 
Обратно, предположим, что выполнено (13.1.9) и что (13.3.1) удовлетворяется для некоторого 
Пусть 
такие константы, что 
положим 
Тогда (13.3.4) выполняется при условии, что предположения теоремы 13.2.3 удовлетворяются для каждого 
Доказательство. Если выполнено (13.3.4) и выполнены сформулированные условия, то применима теорема 13.3.1, так что, в частности,
где 
максимум сопровождающей последоватетьности независимых величин 
Отсюда сразу следует, что их маргинальная ф. p. F принадлежит 
и (13.3.1) немедленно вытекает из определения.
Обратно, предположим, что (13.3.1) выполняется для некоторой ф. p. F 
, последовательность 
последовательность с маргинальной ф. p. F, и пусть для 
Тогда очевидно, что для 
так что применима теорема (13.3.1), приводящая к (13.3.4).
