9.3. Выходы за несколько смежных уровней

Из теоремы о пуассоновской сходимости (теорема 9.1.2) следует, что любые из нормированных во времени точечных процессов выходов за уровни являются асимптотически пуассоновскими, если при Мы изучим теперь зависимость между этими точечными процессами, следуя путем, аналогичным использованному в гл. 5. Эта зависимость впервые была описана в работе Кволса (1969). Формулировка на языке точечных процессов была дана в работе Линдгрена и др. (1975).

Для описания указанной зависимости представим выходы точками на плоскости, а не на прямой, полагая, что выходы за уровень определяют точечный процесс на фиксированной прямой как это было сделано в гл. 5. Однако для нормального процесса, являющегося предметом исследования в этой главе, прямые можно выбрать так, что они будут иметь совсем простую связь с самим процессом. Для этой цели используется процесс

в котором время нормируется множителем а высота, как обычно, величинами

Рис. 9.3.1. Точечные процессы выходов за несколько высоких уровнен,

Далее, тогда и только тогда, когда Очевидно, что среднее число пересечений уровня х процессом в интервале длины равно что в соответствии с замечаниями, следующими за (9.2.2), равно при Пусть поэтому совокупность фиксированных чисел, определяющих горизонтальные прямые (рис. 9.3.1 (b)). Рассмотрим точечный процесс на плоскости, образованный выходами процесса за любую из этих прямых. Зависимость между точками, лежащими на различных прямых, здесь уже не столь проста, как это было в гл. 5, поскольку в отличие от превышений выход за некоторый высокий уровень не является выходом за меньший уровень, и поэтому выходов за более высокий уровень может оказаться даже больше, чем выходов за более низкий уровень. На рис. 9.3.1 показана связь между выходами за уровни процесса и выходами за уровни процесса Как видно из рисунка, локальные нерегулярности поведения процесса могут вызывать появление дополнительных выходов за высокий уровень, не представленных на более низких уровнях.

Пусть обозначает точечный процесс на плоскости, образованный выходами процесса за фиксированные уровни и пусть составляющие этого процесса на соответствующих прямых, так что для борелевских множеств

Мы докажем теперь, что сходится по распределению к некоторому точечному процессу на плоскости того же типа,

с которым мы уже сталкивались в гл. 5 в связи с превышениями. Точки процесса сконцентрированы на прямых а его распределение определяется совместным распределением его компонент на отдельных прямых

Как и в гл. 5, пусть точки пуассоновского процесса на имеющего параметр Пусть случайные величины, не зависящие от и имеющие распределение

так что

Построим процессы располагая точки на прямых по вертикали над и определим, наконец, процесс как сумму процессов

Как и раньше, каждый процесс является пуассоновским процессом на поскольку он получается из пуассоновского процесса независимым удалением точек, с вероятностью удаления каждой точки и имеет интенсивность Кроме того, получается из с помощью биномиального прореживания с вероятностью удаления Разумеется, сам процесс не является пуассоновским процессом на плоскости.

Для доказательства основного результата о том, что сходится по распределению к необходимо показать, что асимптотически выходов за более высокий уровень меньше, чем выходов за более низкий уровень. С удобным видоизменением обозначений мы будем употреблять символ для числа точек процесса с временной координатой в интервале

Лемма 9.3.1. Предположим, что и рассмотрим точечные процессы выходов процесса за уровни и соответственно. В условиях теоремы 9.1.2

при для любого ограниченного интервала

Доказательство. В силу стационарности достаточно доказать лемму для интервала Пусть для фиксированного и использованы обозначения Поскольку, согласно теореме

7.3.2, все пересечения являются строгими, событие влечет за собой выполнение одного из событий

или

так что неравенство Буля и стационарность дают

Очевидно, в то время как в силу следствия 9.1.3

откуда вытекает, что

Поскольку произвольно и при

то лемма доказана.

Теорема 9.3.2. Предположим, что удовлетворяет условиям (8.1.1) и (8.1.2) (или, более общим образом, условию (9.2.4) для семейства для которого Гц Пусть вещественные положительные числа, точечный процесс выходов за уровни нормированного процесса представленного на прямых Тогда при и случайный процесс сходится по распределению к точечному процессу на описанному выше, точки которого на горизонтальных прямых порождаются пуассоновским процессом на имеющим интенсивность и последовательными биномиальными прореживаниями процессов с вероятностями удаления точек

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.5.1 в том, что надо показать справедливость соотношений

(a) для всех множеств В вида и

(b) для всех множеств В, являющихся конечными объединениями непересекающихся множеств такого вида.

Теперь, если и содержит прямые то

так что удовлетворяется.

Чтобы доказать запишем В, как и при доказательстве теоремы 5.5.1, в виде

где и не пересекаются при Для каждого пусть индекс самой низкой прямой пересекающей т. е. для

Ясно, что если то либо либо найдется такой индекс что т. е. в выходов за высокий уровень больше, чем за низкий. Поскольку очевидно, что влечет за собой то

так как эта разность ограничена вероятностью того, что выходов за некоторый более высокий уровень больше, чем выходов за более низкий уровень, а эта вероятность стремится к нулю по лемме 9.3.1. Но

где так что из теоремы 9.2.2 получаем

где Ясно, что это в точности равно вероятности и тем самым доказательство утверждения (b) завершено.

Следствие 9.3.3. Пусть процесс удовлетворяет условиям теоремы 9.3.2, и пусть борелевские множества на положительной полупрямой, границы которых имеют нулевую меру Лебега. Тогда для целых

Например, для непересекающихся

где мера Лебега множества В.