Глава 2. Превышения уровней и k-е наибольшие максимумы

В этой главе мы исследуем свойства превышений уровней значениями т. е. таких точек для которых и в качестве следствия получим результаты о предельных распределениях наибольших значений среди В частности, будет показано, что если выполнено уже известное условие (соотношение (1.5.1)), то при больших значениях эти превышения имеют пуассоновский характер. Это приводит к предельным распределениям для наибольших значений при любом фиксированном ранге «порядковые статистики экстремумов») и дает возможность получить их предельные совместные распределения.

Представляет несомненный интерес понять, сколь быстро достигается сходимость в соответствующих результатах этой главы и гл. 1. Эти вопросы будут рассмотрены в разд. 2.4.

Для наших целей наиболее интересны вытекающие из (1.5.1) результаты о пуассоновости, особенно в случаях наличия зависимости, рассматриваемых в последующих главах. Тем не менее мы кратко укажем и на другие случаи (когда приводящие к нормальным распределениям для числа превышений и отсюда к предельным распределениям для наибольших значений, когда ранг может зависеть от размера выборки п.

2.1. Пуассоновские свойства превышений

Посмотрим теперь на задачу выбора постоянных для которых выполняется соотношение (1.5.1), в несколько другом свете. Будем рассматривать как «уровень» (обычно возрастающий с ростом и говорить, что в «момент» наблюдается превышение

последовательностью уровня если Вероятность такого превышения, очевидно, равна и поэтому среднее число превышений последовательностью равно Иначе говоря, выбирается таким образом, чтобы среднее число превышений для последовательности было приблизительно постоянным. Мы будем следовать этой идее в дальнейшем при выводе пуассоновских свойств превышений. Всюду далее будет обозначать число превышений уровня последовательностью

Теорема 2.1.1. Если последовательность и последовательность удовлетворяет (1.5.1), т. е. то для

(правая часть полагается равной нулю при

Обратно, если (2.1.1) выполняется для какого-нибудь одного фиксированного то выполняется (1.5.1) (и, следовательно, (2.1.1) выполняется для всех

Доказательство. Мы покажем, что если произвольная биномиальная с. в. с параметрами то для выполнения (2.1.1) необходимо и достаточно, чтобы Искомый результат будет вытекать отсюда для этого частного случая с

Если биномиальна и то (2.1.1) сразу вытекает из стандартного пуассоновского приближения для биномиального распределения при получается несложно и при поскольку тогда так что Если то для любого мы имеем

когда (правая часть убывает по 6). Следовательно,

откуда получаем

Обратно, если (2.1.1) выполняется для некоторого но то существуют такое и такая подпоследовательность что Такое же доказательство,

как и выше, показывает, что при а это противоречит (2.1.1), поскольку функция строго возрастает в интервале

Заметим, что если «масштаб времени» изменить в раз, т. е. превышение наносится на графике в точке (а не в точке то равняется числу нанесенных таким образом на график превышений в единичном интервале и имеет предельное пуассоновское распределение. Подобным же образом, число нанесенных на график точек, попавших в произвольное (ограниченное) множество В, имеет предельное пуассоновское распределение, а количества этих точек в двух или более непересекающихся множествах очевидным образом независимы. Это наводит на мысль о том, что когда велико, то превышения уровня наносимые на график в точках а не в точках ведут себя подобно пуассоновскому процессу на положительной полуоси. Это предположение отмечается сейчас только как представляющее интерес, однако мы займемся им более подробно в последующих главах для ситуаций с наличием зависимости.

Отметим также, что если естественно говорить, что в точке происходит выход за уровень Тогда использованная выше случайная величина асимптотически не отличается от числа выходов за уровень между точками Таким образом, мы можем получить пуассоновский предел и для числа таких выходов. Подобные свойства пуассоновости пересечений будут играть важную роль при рассмотрении процессов с непрерывным временем.