8.2. Двойное экспоненциальное распределение максимума

Доказав вспомогательную лемму 8.1.1, приступаем теперь к основному выводу результатов об экстремумах в предположении, что существует (т. е. и выполняется (8.1.2). Условие гарантирует, что точечный процесс выходов за уровень и будет иметь конечную интенсивность. Случай также представляет интерес и будет, как указывалось, исследован в гл. 12. Однако он требует использования более сложных методов.

Наш основной метод состоит здесь в разбиении интервала (где возрастает) на участков фиксированной длины Тогда, очевидно, будет близким к значению максимума из случайных вечичин образуют стационарную последовательность). Поэтому можно ожидать, что методы, использовавшиеся для последовательностей, могут быть применены и здесь. Это действительно так (хотя мы будем строить наши доказательства иначе, чтобы они лучше соответствовали поставленным целям).

Таким образом, не удивительно, что хвост распределения с. в. т. е. (для фиксированного играет здесь центральную роль. В действительности для этой хвостовой вероятности сохраняется та же самая асимптотическая формула (7.4.7), которая была у специфического процесса В этой главе будет достаточно получить следующий более слабый результат. При этом мы используем лемму Слепяна (теорема 7.4.2) для сравнения максимумов

по типу процедуры, первоначально использованной Берманом (1971а).

Лемма 8.2.1. Предположим, что (стандартизованный) стационарный нормальный процесс удовлетворяет (8.1.1). Тогда в прежних обозначениях

(i) для всех выполняется так что

(ii) для заданного существует такое что для

так что

Доказательство. Заключение (i) вытекает из того, что

Второй результат (ii) легко получается из леммы Слепяна (теорема 7.4.2) путем сравнения с простым процессом заданным соотношением (7.4.1). Действительно, если в соответствии с (8.1.1) мы имеем для

Но это показывает, что ковариационная функция процесса мажорируется на отрезке ковариационной функцией процесса и поэтому для (где то же, что и в (7.4.4)), что и дает (ii).

Наша оставшаяся задача состоит в том, чтобы аппроксимировать максимум (для возрастающего максимумами по соответствующим отделенным друг от друга интервалам фиксированной длины и показать, что максимумы на этих интервалах асимптотически независимы. Сначала мы приведем простую, но полезную лемму. В ней и для будут обозначать число выходов за уровень и в фиксированном интервале длины процесса и последовательности соответственно. Более точно, число таких для которых (см. лемму 7.2.2 с вместо

Лемма 8.2.2. Если выполняется (8.1.1) и при и то в предыдущих обозначениях при и

где каждая -составляющая равномерно мала во всех таких интервалах I длины для любого фиксированного

Доказательство. Число точек очевидно, равно где Поэтому из леммы 7.3.1 вытекает, что

где определяется соотношением (7.2.1), а и - составляющие равномерны по так что (i) очевидным образом выполняется с равномерным в интервале

Для доказательства (ii) заметим, что если а — левая концевая точка интервала то

Первое слагаемое в правой части имеет порядок независимо от Поскольку неотрицательная целочисленная случайная величина (см. лемму то второе слагаемое не превосходит а эта величина в силу (i) имеет порядок равномерно в ( Следовательно, выполняется

Устремим теперь и, таким образом, чтобы Зафиксируем и возьмем Разобьем интервал на участков длины каждый. Зафиксируем и разделим каждый участок на два — длиной соответственно. Сделав так, мы получаем пар интервалов поочередно имеющих длины и составляющих в совокупности интервал [0, 74, за исключением остающегося еще одного участка, содержащегося в паре -Лемма 8.2.3. Пусть при таким образом, что и Тогда

Доказательство. Для вывода (i) заметим, что

поскольку Поскольку имеет длину формула (i) вытекает из леммы

Для доказательства (ii) заметим, что выражение, стоящее в (ii) слева, неотрицательно и мажорируется суммой

которая в силу леммы не превосходит по -составляклцая равномерна в интервалах что и требовалось доказать.

Следующая лемма, влекущая за собой асимптотическую независимость максимумов, формулируется в терминах условия (8.2.2), приведенного ранее в лемме 8.1.1.

Лемма 8.2.4. Предположим, что при и что

при для каждого и некоторого для которого Тогда если то

для каждого

Доказательство. Чтобы доказать (i), используем следствие 4.2.2 и сравним максимум из при исходной ковариационной структуре с максимумом из в предположении, что случайные величины, соответствующие различным интервалам независимы. Чтобы формализовать это сравнение, обозначим через ковариационную матрицу с. в. и пусть модификация этой матрицы, получаемая помещением нулей во все ее недиагональные блоки (такой вид ковариационная матрица имела бы, если бы соответствующие группы с. в. были независимыми друг от друга). Например, для

Из (4.2.3) мы получаем

где суммарное количество -точек в

Поскольку все слагаемые с из одного и того же диагонального блока обращаются в нуль, в то время как в противном случае, согласно лемме 8.1.1 (i), , мы видим, что эта двойная сумма не превосходит

Здесь знак указывает на то, что суммирование производится по только из недиагональных блоков. Но имеет вид где не более членов имеют одинаковое значение Поэтому, поскольку минимальное значение равно по крайней мере получаем границу

которая стремится к нулю по предположению (8.2.2), так что выполняется (i).

Для доказательства (ii) заметим, что в силу леммы 8.2.2 (ii)

(равномерно по и

так что по лемме 8.2.1 (i) для достаточно больших (равномерно по

где

Поэтому

(здесь используется тот факт, что для Часть (ii) вытекает из соотношения

Теперь легко получить основную теорему об экстремумах. Теорема 8.2.5. Пусть таким образом, что Предположим, что удовлетворяет (8.1.1) и либо (8.1.2), либо более слабому условию (8.2.2) для некоторого такого, что при лемму 8.1.1). Тогда

Доказательство. Если то и остается только доказать, что результат верен для В силу леммы 8.1.1 выполняется предположение (8.2.2) леммы 8.2.4. Из лемм 8.2.3, 8.2.4 мы получаем

Поскольку значение произвольно, имеем

Далее, поскольку отсюда вытекает известным нам уже путем, что

Правая часть стремится к нулю, так что

Это соотношение выполняется для любого фиксированного Предположим теперь, что фиксировано, берется из интервала где такое же, как и в лемме откуда вытекает, что

и поэтому

так что

Полагая теперь мы видим, что

Справедливость противоположного неравенства для нижнего предела доказывается аналогичным образом и даже еще более просто, из леммы (никакого здесь нет), что и приводит к окончательному результату.

Следствие 8.2.6. Предположим, что удовлетворяет условиям (8.1.1) и (8.1.2), и пусть любой интервал длины для постоянной Тогда при

Доказательство. В силу стационарности мы можем взять в качестве интервал с левым концом в нуле, так что Нетрудно проверить, что процесс удовлетворяет условиям теоремы и имеет среднее число выходов в единицу времени так что Обозначая через максимум процесса сразу получаем искомый результат, поскольку

Теперь нетрудно получить двойной экспоненциальный предельный закон для при линейной нормировке. Этот результат аналогичен теореме нормальных последовательностей.

Теорема 8.2.7. Предположим, что (стандартизованный) стационарный нормальный процесс удов ктворяет соотношениям (8.1.1) и (8.1.2) (или (8.2.2)). Тогда

где

Доказательство. Обозначим и определим

так что

Поэтому (8.2.4) выполнено. Но из (8.2.7) вытекает, что

так что (8.2.4) приводит к соотношению из которого сразу следует (8.2.5).

Между прочим, интересно отметить, что приведенные выкладки некоторым образом проще, чем соответствующие выкладки в дискретном случае (см. теорему 1.5.3), благодаря отсутствию члена и в (8.2.7).

В дискретном случае мы получили пуассоновское предельное поведение превышений высокого уровня. Соответствующие результаты выполняются и для точечных процессов выходов за высокий уровень в условиях настоящей главы. Они легко получаются из представленной теории экстремумов с помощью известной нам уже теоремы о сходимости точечных процессов и, как и в дискретном случае, приводят к ряду интересных следствий относительно локальных максимумов, высоты выбросов и т. п. Мы отложим такое рассмотрение до гл. 9 и 10. Однако здесь стоит отметить, что исторически асимптотическая пуассоновость распределения числа выходов за высокий уровень впервые была доказана (при более ограничительных условиях) Волконским и Розановым (1959). Крамер (1965) указал на наличие связи между выходами и максимумами, выражающейся, например, соотношением

которая ведет к определению асимптотического распределения и последующему развитию теории экстремумов.