Главная > Экстремумы случайных последовательностей и процессов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.5. Более слабые предположения о зависимости

Условие (4.1.1), что не только пригодно для практических целей и достаточно общо, но и похоже на обязательное. В действительности это условие довольно близко к условию,

необходимому для того, чтобы максимум стационарной нормальной последовательности вел себя подобно максимуму сопровождающей независимой последовательности.

Как мы уже видели, именно сходимость (4.3.1) делает возможным выполнение и Поэтому возникает соблазн использовать (4.3.1) в качестве действительно наиболее слабого условия. Но поскольку оно не очень прозрачно, так как связано с уровнем то время от времени предлагались и другие условия, ограничивающие величину при больших В работе Бермана (1964b) было показано, что (4.1.1) можно заменить условием

являющимся частным случаем условия

Условия (4.1.1) и (4.5.2) не вытекают одно из другого, но оба они влекут за собой следующее слабое условие:

для некоторого как было доказано в работе Лидбеттера и др. (1978) и доказывается ниже, после теоремы 4.5.2. Сейчас мы покажем, что (4.5.3) можно использовать вместо (4.1.1), чтобы получить соответствующие условия и предельные теоремы для

Лемма 4.5.1. Если при последовательность удовлетворяет (4.5.3), и если ограниченно, то (4.3.1) выполнено.

Доказательство. Как и в лемме 4.3.2, мы можем (и будем) предполагать, что в действительности сходится к некоторому конечному пределу Используя обозначения из доказательства леммы 4.3.2, положим возьмем и предположим, что число а таково, что

Разобьем сумму в (4.3.1) на три части: первая соответствует индексам вторая — индексам и третья — индексам Первая сумма стремится к нулю, как и в лемме 4.3.2.

Обозначая и используя (4.3.4), т. е.

получаем для второй части (4.3.1)

Правая часть последнего соотношения, очевидно, стремится к нулю, поскольку

Наконец, для последней части (4.3.1) имеем, опять используя (4.3.4),

Для имеем и поэтому правая часть последнего соотношения не превосходит

В силу (4.5.3) эта величина при стремится к нулю, что и завершает доказательство (4.3.1).

Основные результаты, доказанные при условии (4.1.1), можно обобщить теперь следующим образом.

Теорема 4.5.2. Пусть стационарная (стандартизованная) нормальная последовательность, ковариации которой стремятся к нулю при и удовлетворяют (4.5.3) для некоторого Тогда

(i) если числовая последовательность такова, что ограниченно, то выполняются оба условия ;

(ii) если то в том и только в том случае, когда ;

(iii) имеет предельное распределение типа I, т. е.

где те же константы, что и в случае н. о. р. с. в., указываемые соотношениями (1.7.2).

Доказательство. С очевидными изменениями можно применить те же доводы, которые использовались при доказательстве леммы 4.4.1 и теоремы 4.3.3.

Для прояснения условия (4.5.3) могут оказаться полезными следующие замечания.

Определим для каждого положительного х множество пусть число элементов в Рассмотрим следующее товие (которое, как мы увидим, несколько сильнее, чем (4.5.3)):

и равносильное условие

Ясно, что из (4.1.1) вытекает (4.5.4). Далее, если

для некоторого то, поскольку

имеем В частности, мы видим также, что из (4.5.1) и (4.5.2) вытекает (4.5.4), так что оба условия (4.1.1), (4.5.2) сильнее чем (4.5.4), Следующая лемма утверждает, что и из (4.5.4), и из (4.5.4) вытекает (4.5.3) и, значит, оба условия (4.1.1) и (4.5.2) влекут за собой (4.5.3).

Лемма 4.5.3. Если то условия (4.5.4) и (4.5.4) равносильны и влекут за собой (4.5.3).

Доказательство. Нетрудно показать, что условия (4.5.4) и (4.5.4) равносильны, так что нам остается показать, что из (4.5.4) следует, (4.5.3). Мы имеем

и оценим суммы, входящие в правую часть, отдельно, предполагая выполненным (4.5.4). В соответствии с первой частью (4.5.4)

Поскольку мы предполагаем, что то найдется такое целое что для Поэтому

что стремится к нулю при в силу второго соотношения в (4.5.4). Поскольку фиксировано, и отсюда вытекает, что и вторая составляющая правой части (4.5.5) стремится к нулю, а следовательно, выполняется (4.5.3).

1
Оглавление
email@scask.ru