4.5. Более слабые предположения о зависимости

Условие (4.1.1), что не только пригодно для практических целей и достаточно общо, но и похоже на обязательное. В действительности это условие довольно близко к условию,

необходимому для того, чтобы максимум стационарной нормальной последовательности вел себя подобно максимуму сопровождающей независимой последовательности.

Как мы уже видели, именно сходимость (4.3.1) делает возможным выполнение и Поэтому возникает соблазн использовать (4.3.1) в качестве действительно наиболее слабого условия. Но поскольку оно не очень прозрачно, так как связано с уровнем то время от времени предлагались и другие условия, ограничивающие величину при больших В работе Бермана (1964b) было показано, что (4.1.1) можно заменить условием

являющимся частным случаем условия

Условия (4.1.1) и (4.5.2) не вытекают одно из другого, но оба они влекут за собой следующее слабое условие:

для некоторого как было доказано в работе Лидбеттера и др. (1978) и доказывается ниже, после теоремы 4.5.2. Сейчас мы покажем, что (4.5.3) можно использовать вместо (4.1.1), чтобы получить соответствующие условия и предельные теоремы для

Лемма 4.5.1. Если при последовательность удовлетворяет (4.5.3), и если ограниченно, то (4.3.1) выполнено.

Доказательство. Как и в лемме 4.3.2, мы можем (и будем) предполагать, что в действительности сходится к некоторому конечному пределу Используя обозначения из доказательства леммы 4.3.2, положим возьмем и предположим, что число а таково, что

Разобьем сумму в (4.3.1) на три части: первая соответствует индексам вторая — индексам и третья — индексам Первая сумма стремится к нулю, как и в лемме 4.3.2.

Обозначая и используя (4.3.4), т. е.

получаем для второй части (4.3.1)

Правая часть последнего соотношения, очевидно, стремится к нулю, поскольку

Наконец, для последней части (4.3.1) имеем, опять используя (4.3.4),

Для имеем и поэтому правая часть последнего соотношения не превосходит

В силу (4.5.3) эта величина при стремится к нулю, что и завершает доказательство (4.3.1).

Основные результаты, доказанные при условии (4.1.1), можно обобщить теперь следующим образом.

Теорема 4.5.2. Пусть стационарная (стандартизованная) нормальная последовательность, ковариации которой стремятся к нулю при и удовлетворяют (4.5.3) для некоторого Тогда

(i) если числовая последовательность такова, что ограниченно, то выполняются оба условия ;

(ii) если то в том и только в том случае, когда ;

(iii) имеет предельное распределение типа I, т. е.

где те же константы, что и в случае н. о. р. с. в., указываемые соотношениями (1.7.2).

Доказательство. С очевидными изменениями можно применить те же доводы, которые использовались при доказательстве леммы 4.4.1 и теоремы 4.3.3.

Для прояснения условия (4.5.3) могут оказаться полезными следующие замечания.

Определим для каждого положительного х множество пусть число элементов в Рассмотрим следующее товие (которое, как мы увидим, несколько сильнее, чем (4.5.3)):

и равносильное условие

Ясно, что из (4.1.1) вытекает (4.5.4). Далее, если

для некоторого то, поскольку

имеем В частности, мы видим также, что из (4.5.1) и (4.5.2) вытекает (4.5.4), так что оба условия (4.1.1), (4.5.2) сильнее чем (4.5.4), Следующая лемма утверждает, что и из (4.5.4), и из (4.5.4) вытекает (4.5.3) и, значит, оба условия (4.1.1) и (4.5.2) влекут за собой (4.5.3).

Лемма 4.5.3. Если то условия (4.5.4) и (4.5.4) равносильны и влекут за собой (4.5.3).

Доказательство. Нетрудно показать, что условия (4.5.4) и (4.5.4) равносильны, так что нам остается показать, что из (4.5.4) следует, (4.5.3). Мы имеем

и оценим суммы, входящие в правую часть, отдельно, предполагая выполненным (4.5.4). В соответствии с первой частью (4.5.4)

Поскольку мы предполагаем, что то найдется такое целое что для Поэтому

что стремится к нулю при в силу второго соотношения в (4.5.4). Поскольку фиксировано, и отсюда вытекает, что и вторая составляющая правой части (4.5.5) стремится к нулю, а следовательно, выполняется (4.5.3).