7.2. Пересечения уровня и их основные свойства

При исследовании максимумов последовательностей существенную роль играли превышения уровня. В непрерывном случае соответствующую роль выполняют выходы за уровень, для которых могут быть получены аналогичные предельные результаты (такие, как пуассоновские пределы). Для изучения выходов будет удобно для каждого вещественного и ввести класс всех таких функций которые непрерывны на положительной полуоси и не совпадают тождественно с и ни в каком ее подынтервале. Легко видеть, что выборочные функции нашего стационарного процесса с вероятностью единица принадлежат классу Действительно, каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, и поэтому

где перенумерованное множество рациональных точек. Поскольку с. в. имеет по предположению непрерывное распределение, то для каждого

Мы будем говорить, что функция имеет в точке строгий выход за уровень и, если для некоторого имеет место и в интервале и в интервале Из непрерывности вытекает, что при этом а из определения что для каждого в интервале есть значения при которых а в интервале значения при которых

Будет удобно несколько расширить это понятие, чтобы включить в число выходов и точки, в которых поведение функции является менее регулярным. Как мы увидим, такие точки практически будут отсутствовать у процессов, рассматриваемых в следующих двух главах. Однако они пригодятся в выкладках и часто будут реально встречаться для менее регулярных процессов из гл. 12. Более точно, мы будем говорить, что функция имеет в точке выход за уровень и, если для некоторого и всех имеет место и для всех в интервале для некоторого (а следовательно, и для бесконечно многих в интервале Пример нестрогого выхода за в точке дает функция для которой при при

Следующий результат содержит основные простые факты, которые понадобятся нам для подсчета числа пересечений.

Лемма 7.2.1. Пусть для некоторого фиксированного и. Тогда

(i) если для фиксированных мы имеем то функция имеет в интервале выход за уровень и (не обязательно строгий).

(ii) если функция имеет в точке нестрогое пересечение уровня и, то при любом она имеет бесконечно много пересечений уровня и в интервале

Доказательство, (i) Если то пусть

Ясно, что является точкой выхода за уровень и.

(ii) Если точка выхода функции за уровень то в интервале обязательно найдется точка для которой Если не является строгим выходом, то в

должна найтись такая точка для которой В соответствии с (i) между и 4 имеется выход за уровень и, что и приводит к (ii) в силу произвольности

Произведя очевидные изменения, мы можем определить входы под уровень (строгие и нестрогие) и затем определить пересечения уровня как такие точки, в которых имеет место либо выход за, либо вход под уровень. Ясно, что в любой точке пересечения уровня и мы имеем С другой стороны, могут существовать и такие «ы-значения» (т. е. точки для которых которые не являются пересечениями, как, например, точки, в которых функция касается уровня и, или такие точки для которых разность и принимает как положительные, так и отрицательные значения в каждой правой и в каждой левой окрестности точки как для функции и

Приведенное рассуждение применимо к выборочным функциям процесса удовлетворяющего сформулированным выше условиям, поскольку, как отмечалось, его выборочные функции принадлежат с вероятностью единица. Пусть обозначает теперь число пересечений уровня и процессом в ограниченном интервале Если не может возникнуть путаницы, мы будем иногда писать просто а не

Аналогично тому, как это было использовано для максимумов, «кусочно-линейный» аппроксимирующий процесс удобно использовать и для того, чтобы показать, что является случайной величиной. Это подразумевается в последующих выкладках, например при выводе формулы для Этот факт будет показан в следующей лемме, для формулировки которой удобно ввести следующее обозначение:

Лемма 7.2.2. Пусть I — фиксированный ограниченный интервал. При тех же предположениях относительно стационарного процесса пусть любая такая последовательность, для которой и пусть число таких точек вида для которых и принадлежат интервалу и при этом Тогда

н. при следовательно, случайная величина (возможно, принимающая и бесконечные значения)

(iii) , и поэтому (и, следовательно,

Доказательство, (i) Если для некоторого выполняется неравенство то из леммы вытекает, что имеет выход между так что отсюда сразу вытекает

Поскольку распределение с. в. непрерывно и множество счетно, то мы видим, что для некоторого и поэтому мы можем предполагать, что для любых Подобным же образом мы можем предполагать, что не принимает значения и на концах интервала следовательно, в этих точках нет выходов за уровень и.

Далее, если для некоторого целого мы имеем то можем внутри интервала выбрать отделенных друг от друга выходов процесса за уровень и путем выбора значения добиться того, что они будут окружены такими непересекающимися подынтервалами интервала что и для некоторого В силу непрерывности эта точка содержится в некотором интервале — его можно взять как подынтервал в для всех точек которого Для всех достаточно больших этот интервал должен содержать точку вида

Таким образом, существуют такие точки что Для некоторого мы должны поэтому иметь Поскольку в конечном счете каждый интервал содержит такую точку вида мы заключаем отсюда, что если достаточно велико, то Отсюда сразу следует, что (последнее значение не обязательно конечно). Поскольку же, в силу мы видим, что как и утверждалось.

Наконец, легко показать, что является при каждом случайной величиной является конечной суммой случайных величин где если и равняется нулю в противном случае), так что в силу полноты ее п. н.-предел также является случайной величиной, хотя, возможно, принимающей и бесконечные значения.

(iii) Поскольку п. н., лемма Фату показывает, что Если то это дает сразу Но по теореме о мажорируемой сходимости тот же самый результат выполняется и если поскольку п. н.

Наконец, если то интервал содержит точек вида так что, используя стационарность, имеем

Поэтому откуда в силу произвольности последовательности вытекает последнее заключение в (iii).

Следствие 7.2.3. Если или, что равносильно, если для некоторой последовательности то с вероятностью единица выходы за уровень и являются строгими.

Доказательство. Если то п. н. и утверждение вытекает из части (ii) леммы 7.2.1.

При весьма естественных условиях величину можно выразить в простой и полезной интегральной форме. Она будет приспособлена в следующем разделе к нормальным процессам и будет играть основную роль в последующем исследовании. В разд. 7.5 эта форма будет обобщена с тем, чтобы ее можно было использовать в ситуациях, связанных с маркированными пересечениями.

Первые результаты подобного рода были получены для нормальных процессов Райсом (1939, 1944, 1945) эвристическими методами, связанными с методами, используемыми в настоящей работе. Первые строгие доказательства, использовавшие некоторый прием пересчета нулей, были изложены в работе Каца (1943). Доказательства справедливости формулы Райса для среднего числа нулей нормальных процессов были получены при все более и более слабых условиях Ивановым (1960), Булинской (1961), Ито (1964) и Илвисакером (1965). Используемая нами общая формулировка принадлежит Лидбеттеру (1966 с); см. также Маркус 1977).

Теорема 7.2.4. Предположим, что имеют совместную плотность непрерывную по и для всех и всех достаточно малых и что существует такая функция что при равномерно по и при фиксированном Предположим, кроме того, что существует такая функция что для всех Тогда

Доказательство. Записывая событие в виде имеем

Произведя замену переменных находим, что это равно

где при поточечно сходится к в силу предположений о равномерной сходимости и непрерывности. Поскольку мажорируется функцией отсюда сразу следует, что этот двойной интеграл сходится к

Во многих случаях предел в (7.2.2) является просто совместной плотностью значений н производной (Это, как будет видно в следующем разделе, имеет место, например, в нормальном случае.) Если обозначить через соответственно плотность с. в. и условную плотность с. в. при заданном значении то (7.2.2) можно записать в виде

так что среднее число выходов равно соответствующему значению плотности с. в. умноженному на средний положительный тангенс угла наклона выборочных функций на уровне и.

В заключение этого раздела мы выведем два небольших результата относительно максимума и характера решений уравнения опирающихся только на предположение о непрерывности как функции от и.

Теорема 7.2.5. Предположим, что функция непрерывна в точке как обычно, что для всех так что с вероятностью единица. Тогда

(i) с вероятностью единица все точки для которых являются или (строгими) выходами или (строгими) входами.

(ii) распределение с. в. непрерывно в точке

Доказательство, (i) Достаточно, очевидно, ограничиться рассмотрением единичного интервала. Если но не является ни (строгим) выходом ни (строгим) входом, то это или соответствует касанию уровня снизу или сверху, т. е. для некоторого выполняется для всех или в интервале имеется бесконечно много выходов (что невозможно ввиду конечности Далее, для каждого фиксированного и вероятность наличия касаний уровня и снизу равна нулю. Чтобы убедиться в этом, обозначим через число таких касаний уровня и в ( обозначим и предположим, что так что существует по крайней мере точек являющихся либо выходами за и, либо касаниями снизу. Поскольку с вероятностью единица, то при достаточно больших непосредственно перед каждой из этих точек должно иметься хотя бы одно пересечение уровня Это означает, что для всех достаточно больших следовательно,

Применяя лемму Фату, получаем

если непрерывно. Поскольку то мы заключаем отсюда, что (с вероятностью единица). Аналогичное доказательство исключает и касания сверху, так что все -значения являются либо выходами, либо входами (и притом строгими), (ii) Без ограничения общности возьмем Поскольку

искомый результат вытекает из соотношения