Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7.2. Пересечения уровня и их основные свойстваПри исследовании максимумов последовательностей существенную роль играли превышения уровня. В непрерывном случае соответствующую роль выполняют выходы за уровень, для которых могут быть получены аналогичные предельные результаты (такие, как пуассоновские пределы). Для изучения выходов будет удобно для каждого вещественного и ввести класс
где Мы будем говорить, что функция Будет удобно несколько расширить это понятие, чтобы включить в число выходов и точки, в которых поведение функции Следующий результат содержит основные простые факты, которые понадобятся нам для подсчета числа пересечений. Лемма 7.2.1. Пусть (i) если для фиксированных (ii) если функция Доказательство, (i) Если
Ясно, что (ii) Если должна найтись такая точка Произведя очевидные изменения, мы можем определить входы под уровень (строгие и нестрогие) и затем определить пересечения уровня как такие точки, в которых имеет место либо выход за, либо вход под уровень. Ясно, что в любой точке пересечения Приведенное рассуждение применимо к выборочным функциям процесса Аналогично тому, как это было использовано для максимумов, «кусочно-линейный» аппроксимирующий процесс удобно использовать и для того, чтобы показать, что
Лемма 7.2.2. Пусть I — фиксированный ограниченный интервал. При тех же предположениях относительно стационарного процесса н. при (iii) Доказательство, (i) Если для некоторого Поскольку распределение с. в. Далее, если для некоторого целого Таким образом, существуют такие точки Наконец, легко показать, что (iii) Поскольку Наконец, если
Поэтому Следствие 7.2.3. Если Доказательство. Если При весьма естественных условиях величину Первые результаты подобного рода были получены для нормальных процессов Райсом (1939, 1944, 1945) эвристическими методами, связанными с методами, используемыми в настоящей работе. Первые строгие доказательства, использовавшие некоторый прием пересчета нулей, были изложены в работе Каца (1943). Доказательства справедливости формулы Райса для среднего числа нулей нормальных процессов были получены при все более и более слабых условиях Ивановым (1960), Булинской (1961), Ито (1964) и Илвисакером (1965). Используемая нами общая формулировка принадлежит Лидбеттеру (1966 с); см. также Маркус 1977). Теорема 7.2.4. Предположим, что
Доказательство. Записывая событие
Произведя замену переменных
где Во многих случаях предел
В заключение этого раздела мы выведем два небольших результата относительно максимума Теорема 7.2.5. Предположим, что функция (i) с вероятностью единица все точки (ii) распределение с. в. Доказательство, (i) Достаточно, очевидно, ограничиться рассмотрением единичного интервала. Если
Применяя лемму Фату, получаем
если
искомый результат вытекает из соотношения
|
1 |
Оглавление
|