7.3. Пересечения нормальными процессами

До сих пор мы рассматривали совершенно произвольный стационарный случайный процесс Теперь мы остановимся на случае (стационарного) нормального, или гауссовского, процесса, понимая под этим, что совместное распределение случайных величин является многомерным нормальным для каждого выбора Без специальных оговорок мы будем предполагать, что процесс стандартизован так, что имеет нулевое среднее и единичную дисперсию. Ковариационная функция будет при этом равна

Очевидно, что четная функция аргумента Поэтому если функция дифференцируема в точке то ее производная в этой точке должна быть равна нулю. Особый интерес для нас будет представлять наличие двух производных при Если существует (конечна), то она должна быть отрицательной, и мы обозначаем Величина К называется вторым спектральным моментом, поскольку где спектральная Если не является два раза дифференцируемой в нуле функцией, то В случае мы имеем представление

Кроме того, можно показать, что тогда и только тогда, когда процесс дифференцируем в среднем квадратичном, т. е. когда существует такой процесс для которого в среднем квадратичном при Тогда

совместно нормальны и независимы для каждого Кроме того,

Для использования в дальнейшем мы введем также величины

где еслн эта величина конечна. Сводку этих и связанных с ними свойств можно найти в книге Крамера и Лидбеттера (1969, гл. 9).

Чтобы применить общие результаты о выходах к нормальному случаю, мы потребуем, чтобы процесс имел п. н. -непрерывные выборочные функции. Известно (Крамер и Лидбеттер (1969, разд. 9.5)), что еслн при

то процесс можно определить как непрерывный. Это очень слабое условие, которое всегда выполняется при используемых

здесь и далее предположениях, например его выполнение определенно гарантируется, если функция дифференцируема в начале координат или даже если для некоторых

В оставшейся части этой главы и в последующих главах мы будем рассматривать стационарный нормальный процесс, стандартизованный, как указано выше, и такой, что . Тогда и независимые нормальные величины, Их совместная плотность

является пределом совместной плотности случайных величин появлявшихся в теореме 7.2.4. Действительно, и имеют совместное двумерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей

При в соответствии с что влечет за собой сходимость совместной плотности Требующаяся в теореме 7.2.4 мажорируемая сходимость может быть легко установлена, и поэтому

Это и есть первоначальная формула Райса для среднего числа выходов нормального процесса. Подобная же аргументация показывает, что если процесс недифференцируем в среднем квадратичном (т. е. то к чему приводит и формула Райса.

Тем не менее мы нуждаемся в несколько более общем результате относительно допускающем возможность возрастания и, и при Докажем такой результат непосредственно, действуя по аналогии с доказательством теоремы 7.2.4, и на этом пути получим формулу Райса. Для упрощения обозначений используем нормальную структуру в явном виде, преобразуя переменные несколько отличным образом.

Лемма 7.3.1. Пусть (стандартизованный) стационарный нормальный процесс с и пусть Пусть и значение и либо фиксировано, либо стремится при к бесконечности таким образом, что Тогда

Доказательство. Запишем событие в виде где Случайные величины и иекоррелированы, а следовательно, будучи нормальными с. в., и независимы. Их дисперсии равны соответственно Поэтому

Сомножитель в подынтегральном выражении, заключенный в фигурные скобки, можно записать ввиде

По теореме об ограниченной сходимости эта величина стремится к единице. Заменяя на видим, что подынтегральное выражение в (7.3.3) мажорируется интегрируемой функцией (для некоторых постоянных так что применение теоремы о мажорируемой сходимости дает

Результат Райса является теперь немедленным следствием из этой леммы.

Теорема 7.3.2 (формула Райса). Если (стандартизованный) стационарный нормальный процесс с конечным вторым спектральным моментом то среднее число выходов за любой фиксированный уровень и в единицу времени конечно и выражается формулой

(Поэтому все выходы являются строгими.)

Доказательство. Это утверждение вытекает из случая фиксированного и, рассмотренного в предыдущей лемме, и из части (iii) леммы 7.2.2.

Приведенное исследование производилось с использованием выходов. Очевидно, что аналогичные результаты справедливы и для входов. В частности, среднее число входов также выражается формулой (7.3.4).