3.7. О роли условий ...

Из предшествующих разделов становится ясно, что в комплексе условия приводят к центральным результатам теории экстремальных значений относительно распределений для стационарных последовательностей. Как было уже упомянуто, в гл. 5 будет показано, что эти условия обеспечивают пуассоновский характер процесса превышений «уровня» последовательностью когда велико. Это ведет к дальнейшим асимптотическим результатам относительно распределений не только для максимума, но и для наибольших значений. Условие обеспечивает при этом независимость, связанную с появлением событий в пуассоновском процессе, как отмечалось выше, ограничивает возможность слияния превышений, так что в пределе исключаются кратные события.

Помимо этих интуитивных разъяснений, интересно конечно конкретно увидеть, какие типы поведения могут наблюдаться, когда указанные условия в той или иной степени ослабляются. Тривиальные примеры (например, когда все одинаковы) показывают, что полная отмена ограничений на зависимость приводит к совершенно произвольным асимптотическим распределениям для максимума. Более интересные примеры (см. гл. 6) представляют нетривиальные случаи, в которых асимптотическое распределение для максимума существует, но не является распределением

типа экстремальных значений, когда «убывание зависимости» столь медленно, что условие не выполняется.

Разумеется, если выполняется для подходящих последовательностей то теорема об экстремальных типах показывает, что всякое невырожденное предельное распределение для максимума стационарной последоватечьности должно принадлежать одному из трех типов экстремальных значений. Еще более интересные вопросы связаны с ролью условия и пределов, до которых можно еще модифицировать предыдущие результаты с тем, чтобы они могли быть применимы при выполнении одного лишь условия

В действительности мы обнаружим интригующий результат, показывающий, что во многих (может быть даже в большинстве) представляющих интерес случаев существование предельного распределения для максимума в сопровождающей независимой последовательности приводит к предельному распределению того же типа для исходного причем с теми же нормализующими последовательностями В некоторых случаях эти пределы можно сделать одинаковыми путем очевидного простого изменения одной совокупности нормализующих постоянных.

Будут процитированы имеющиеся в литературе примеры (интересный класс таких примеров обсуждается более дета чьно в следующем разделе), иллюстрирующие возможные типы поведения в случае, когда не предполагается выполнения условия Однако сначала мы приведем некоторые общие результаты, модифицирующие соответствующие результаты из предыдущих разделов.

В разд. 3.4 уже отмечалось, что выполнения (3.4.2) и одного лишь условия достаточно, чтобы гарантировать справедливость соотношения даже если сам предел (3.4.1), вообще говоря, не имеет места без выполнения условия Этот факт пригодится нам при выводе модифицированной формы теоремы 3.4.1. В результате будет показано, что если для каждого последовательность удовлетворяет (3.4.2) и такова, что выполняется для и если сходится хотя бы для одного значения то для всех для некоторого фиксированного Этот результат при дополнительном предположении, что предеч существует для всех был доказан Лойнесом (1965) для последовательностей с сильным перемешиванием и Черником (1981а) при условии Приводимое здесь доказательство следует обеим этим работам.

Теорема 3.7.1. Предположим, что для определена такая последовательность что и

условие выполняется для каждого такого х. Тогда существуют такие постоянные что

Поэтому если сходится при некотором то для всех

Доказательство. Из леммы 3.3.2 вытекает, что для любого фиксированного целого

где Поэтому если то

Рассматривая теперь случаи, когда (см. доказательство лемм можно легко убедиться в том, что

поскольку Ввиду очевидного соотношения получаем, что а это вместе с (3.7.1) показывает, что для всех Далее, если то ясно, что для достаточно больших так что функция является невозрастающей. Она строго положительна, поскольку, как отмечалось перед теоремой, Но хорошо известно, что единственным решением указанного функционального уравнения, обладающим такими свойствами, является функция где . Поскольку в соответствии с вышесказанным отсюда следует, что

Аналогично получается соотношение где как ясно, Это завершает доказательство теоремы, поскольку последнее ее утверждение очевидно.

Позднее мы процитируем примеры, показывающие, что в этой теореме может реализоваться каждое значение Случай является «вырожденным», в том смысле что он ведет к соотношению для каждого Однако существование этого предела, как мы увидим, влияет, по крайней мере иногда, на множество предельных типов.

Чтобы упростить формулировки, удобно будет как-то назвать свойство, указанное в предыдущей теореме. Именно, мы будем говорить, что процесс имеет экстремальный индекс если (в обычных обозначениях) для каждого существует такая последовательность что

Согласно лемме 3.6.2, если условие (i) выполняется для одного фиксированного то оно выполняется и для всех а по теореме 1.7.13 это равносильно (1.7.3). В силу теоремы 3.7.1, если (i) выполнено и условие выполняется для каждого и если сходится для некоторого то (ii) выполняется при некотором для всех и поэтому имеет экстремальный индекс.

Следующий результат является модификацией теоремы 3.5.1 в случае, когда не выполняется и обобщает теорему, доказанную О'Брайеном (1974с) в предположении сильного перемешивания. Здесь и далее в этом разделе мы продолжаем использовать введенные ранее обозначения. Например, обозначает максимум первых членов независимой последовательности сопровождающей последовательность

Теорема 3.7.2. Пусть стационарная последоватегьность имеет экстремальный индекс 6. Пусть некоторая числовая последовательность Тогда

тогда и только тогда, когда

Доказательство, (i) Предположим, что где Выберем такое чтобы Тогда

так что для достаточно больших и поэтому

Поскольку это верно для любого для которого отсюда вытекает, что

(В частности, если то как и следовало ожидать.)

Аналогично, беря легко показать, что в этом случае когда Поэтому при как и следовало ожидать. Для путем комбинации неравенств для верхнего и нижнего пределов получаем

Доказательство того, что из вытекает проводится совершенно аналогичным образом, поэтому (i) выполняется.

Предположим теперь, что так что при для каждого Если выбрано так, что то, поскольку отсюда следует, что для всех достаточно больших и поэтому

откуда вытекает

С другой стороны, если то из того факта, что легко видеть, что для любого и достаточно больших п. Следовательно,

Поскольку это верно для всех мы получаем полагая

В качестве следствия мы можем привести общие условия, при которых из существования асимптотического распределения для вытекает существование асимптотического распределения для и обратно.

Следствие 3.7.3. Пусть стационарная последовательность имеет экстремальный индекс Тогда имеет невырожденное предельное распределение в том и только в том случае, если невырожденное предельное распределение имеет причем в этом случае оба этих распределения одного и того же типа.

Кроме того, можно или использовать одну и ту же нормализацию, или так изменить множество нормализующих констант, чтобы получить ту же самую предельную ф. р.

Доказательство. Если и невырожденная ф. р., то часть (i) теоремы показывает (при что Поскольку ф. р. С максимум-устойчива, то имеет тот же самый тип, что и (см. следствие 1.3.2). Обратное получается аналогичным образом, если заметить, что если где невырожденная ф. р., то как предел для распределения максимума н. о. р. последовательности должна быть максимум-устойчивой.

Наконец, если то в силу вышеизложенного

где для некоторых Поэтому также

где

Из этого следствия (и теоремы 1.2.3) вытекает, в частности, что если и при имеют невырожденные предельные распределения, то эти распределения должны иметь один и тот же тип. Однако если то можно показать, используя доказательство Дэвиса (1981), аналогичное доказательству приведенного ниже следствия, что не могут одновременно иметь невырожденные предельные распределения, основанные на одних и тех же нормализующих константах. Конечно, если условие не выполняется, то тривиальные примеры, на которые мы уже ссылались, указывают случаи, когда может фактически иметь произвольное распределение, в то время как имеет предельное распределение типа экстремальных значений. Ниже мы процитируем пример, в котором выполняется, но Далее, недавний пример де Хана (см. работу Лидбеттера (1982)) показывает, что при и могут иметь предельные распределения (различного типа), основанные на отличающихся нормализующих константах.

Следствие 3.7.4. Пусть стационарная последовательность удовлетворяет условию когда удовлетворяет соотношению и пусть имеет экстремальный индекс Тогда не могут оба иметь невырожденные предельные распределения, основанные на

одних и тех же нормализующих константах, т. е. невозможно, чтобы одновременно выполнялись оба соотношения

с невырожденными

Доказательство. Предположим, что обе указанные сходимости в действительности имеют место. Тогда, обозначая из теоремы 3.7.2 (ii) находим, что всякий раз, когда Отсюда легко видеть, что значение конечно и для

Поскольку С имеет тип экстремальных значений с конечной левой концевой точкой, она должна иметь тип II, т. е. где для для и некоторого Далее, согласно следствию 1.6.3, если то

Но, кроме того, так что теорема 1.2.3 дает

Поскольку дальнейшее применение теоремы 1.2.3 приводит к соотношению

Теперь, поскольку должно выполняться для имеет тип экстремальных значений и поэтому непрерывна, так что Но

и поскольку Это противоречит тому, что тем самым следствие доказано.

Мы завершаем этот раздел несколькими примерами из имеющейся литературы, демонстрирующими спектр возможного асимптотического поведения для Эти примеры связаны по существу со случаями, в которых индекс 6 меньше единицы. Более обычный на практике случай (когда выполнено и иллюстрируется более подробно в гл. 4, где рассматриваются нормальные последовательности.

Пример 3.7.5. Этот пример, принадлежащий Чернику (1981а), связан со стационарной в узком смысле последовательностью авторегрессии первого порядка

где целое число, последовательность н. о. р. с. в., равномерно распределенных на не зависит от имеет равномерное распределение на отрезке

Поскольку с. в. равномерна, в качестве можно взять Черник показывает, что для условие выполняется, не выполнено. Затем он выводит непосредственным образом, что для

Замена х на показывает, что имеет в пределе распределение типа III с такими же нормализующими постоянными, как и в случае (пример 1.7.9). Это вполне соответствует следствию 3.7.3. Далее, полагая можно записать (3.7.2) в виде показывающем, что экстремальный индекс Поскольку то и когда пробегает значения индекс образует последовательность значений из интервала (Тем не менее, по-видимому, этот пример не может быть легко распространен на другие значения 0.) Интересно отметить, что если (что случается с вероятностью то и поэтому сколь бы ни велико (т. е. близко к 1) было , существует фиксированная вероятность того, что будет больше, и затем вероятность того, что будет еще больше, и т. д. Таким образом, большие значения имеют тенденцию появляться группами, являясь причиной того, что последовательные превышения уровня оказываются «чересчур сильно связанными» для того, чтобы выполнялось условие или имели место пуассоновские свойства превышений, рассматриваемые в гл.

Пример 3.7.6. Дензель и О'Брайен (1975) рассмотрели процесс с «цепной зависимостью» определяемый с помощью эргодической цепи Маркова состояния которой являются неотрицательными целыми числами, и связанный с этой цепью требованием

где переходные вероятности для указанной цепи, а для каждого является невырожденной функцией распределения. Путем надлежащего выбора параметров они таким образом получают процессы которые обладают сильным перемешиванием, имеют маргинальную стационарные вероятности состояний цепи) и для которых может реализовываться любое значение экстремального индекса 6 в Кроме того, рассмотрен случай с представляющий пример с В этом последнем случае так что имеет невырожденное предельное распределение типа II. Уровень выражается явно как наименьшее целое число, большее или равное и

однако не очевидно, имеет ли вообще какое-либо предельное распределение (совместимое со следствием 3.7.4).

Можно также привести примеры, где условие выполняется (и даже имеет место сильное перемешивание), но не существует экстремального показателя.

Пример 3.7.7. О'Брайен (1974с) рассматривает последовательность в которой каждая с. в. равномерно распределена на отрезке [0, 1], причем независимы, определяется при каждом как функция от Таким образом он получает последовательность, очевидно, обладающую сильным перемешиванием, и затем приходит к некоторой последовательности для которой сходится к но не сходится вовсе. Отсюда вытекает (теорема 3.7.2), что не имеет экстремального индекса, и поэтому (теорема 3.7.1) не сходится ни для какого

Модификация этого примера приводит к некоторой последовательности с сильным перемешиванием, для которой сходится к невырожденному распределению (и поэтому к распределению типа экстремальных значений), но не сходится. Иначе говоря, сходится для каждого представителя семейства Это, конечно, опять отражает тот факт, что в этом случае не существует экстремального индекса.

Почти патологическая природа доступных примеров, для которых выполняется, но экстремальный индекс или равен нулю или вовсе не существует, наводит на мысль о том что случаи, представляющие наибольший практический интерес, характерны тем, что для них экстремальный индекс существует и отличен

от нуля. Мы обратимся теперь к другому интересному классу таких примеров, для которого Примеры другого рода с недавно были предложены также де Ханом (см. Лидбеттер (1982)).