2.3. Совместное асимптотическое распределение наибольших максимумов

Асимптотическое распределение наибольшего максимума было получено выше путем рассмотрения числа превышений уровня последовательностью Подобная же аргументация может быть использована для доказательства сходимости совместного распределения нескольких больших максимумов. Пусть уровни удовлетворяют соотношениям

где обозначает число превышений последовательностью

Теорема 2.3.1. Предположим, что последовательность н. о. р. с. в. и что последовательности удовлетворяют (2.3.1). Тогда для при

правая часть считается равной нулю, независимо от того, будет ли какое-либо из других равно бесконечности).

Доказательство. Обозначая через вероятность того, что превзойдет легко видеть, что левая часть (2.3.2) равна

Из (2.3.1) следует в свою очередь, что

для и что

Таким образом, (2.3.2) является непосредственным следствием соотношений (2.3.1) и (2.3.3), когда а следовательно, и все конечны. С другой стороны, если то левая часть (2.3.2) не превосходит величины которая стремится к нулю по теореме 2.1.1, так что опять выполняется (2.3.2).

По тем же причинам, что и в (2.2.1), ясно, что

и поэтому совместное асимптотическое распределение наибольших максимумов можно получить непосредственно из теоремы 2.3.1. В частности, если распределение с. в. сходится, то отсюда следует не только то, что сходится по распределению для как мы видели выше, но также и то, что сходится совместное распределение с. в. Этот факт, конечно, вполне ясен, но, поскольку форма предельного распределения для более чем двух максимумов становится довольно сложной, мы сформулируем результат только для случая двух наибольших максимумов.

Теорема 2.3.2. Предположим, что

для некоторой невырожденной поэтому имеюшрй тип I, II или III) ф. p. G. Тогда для

когда имеет место сходимость к нулю, если

Доказательство. Мы должны показать, что

сходится, если Если выполнено (2.3.5), то, согласно теореме где Отсюда, по теореме 2.3.1

что в силу (2.3.4) доказывает (2.3.6).