Глава 1. Асимптотические распределения экстремумов

Эта глава в основном связана с центральным результатом классической теории экстремальных значений — теоремой о типах экстремальных распределений, которая описывает возможные формы предельного распределения максимумов в последовательностях независимых и одинаково распределенных случайных величин. В процессе вывода возможные предельные распределения отождествляются с классом распределений, обладающих определенным свойством устойчивости — так называемыми максимум-устойчивыми распределениями. Затем показывается, что этот класс содержит ровно три семейства распределений, часто называемые (что не вполне точно) тремя распределениями экстремальных значений.

1.1. Введение

Пусть последовательность независимых и одинаково распределенных (н. о. р.) случайных величин максимум первых из этих величин, т. е.

Большая часть «классической» теории экстремальных значений имеет дело с распределением особенно с его свойствами при Все результаты, полученные для максимумов, конечно, приводят к аналогичным результатам и для минимумов ввиду наличия очевидного соотношения Поэтому в данной работе мы будем только кратко обсуждать собственно минимумы, за исключением того случая, когда изучается совместное распределение

В рассматриваемой ситуации нет, конечно, никакой трудности в выписывании функции распределения в точном виде; она равна

где обозначает общую ф. р. для Большая часть «Статистики экстремальных значений» (как озаглавлена книга Гумбеля (1958)) имеет дело с распределением в целом ряде типовых случаев и с множеством родственных вопросов (например, относительно других порядковых статистик, размаха и т. д.).

Ввиду столь удовлетворительного построения теории для конечного случая может возникнуть вопрос о желательности получения асимптотических результатов. Один из доводов в пользу такого рода исследования представляется нам особенно убедительным. В обычной теории центральной предельной теоремы асимптотически нормальное распределение суммы многих н. о. р. случайных величин получают независимо от того, какова их исходная ф. р. Фактически, чтобы применять асимптотическую теорию, вовсе не обязательно знать эту ф. р. очень точно. Подобная ситуация имеет место и в теории экстремальных значений. Невырожденное асимптотическое распределение (соответствующим образом нормализованного) обязательно должно принадлежать одному из трех единственно возможных общих семейств независимо от исходной ф. p. F. Кроме того, нет никакой необходимости знать ф. p. F полностью, чтобы определить, к какой предельной форме (если таковая существует) она приводит, т. е. к какой «области притяжения» она принадлежит. В действительности это определяется только поведением функции для больших х, так что об асимптотических свойствах максимума можно сказать многое, основываясь лишь на довольно ограниченной информации о свойствах ф. p. F.

Центральный результат — мы ссылаемся на него как на теорему об экстремальных типах — впервые был получен Фишером и Типпетом (1928) и позднее был доказан в полной общности Гнеденко (1943). Мы докажем этот результат для н. о. р. случайных величин (теорема 1.4.2), используя новый, более простой подход, принадлежащий де Хану (1976), и затем распространим его на случаи зависимости в гл. 3 и 13.

Будем изучать условия, при которых для подходящим образом выбранных констант

(здесь имеется в виду сходимость в точках непрерывности ф. p. G, хотя в действительности, как мы увидим в дальнейшем, все представляющие интерес ф. p. G непрерывны). В частности, нас будет интересовать вопрос о том, какие именно ф. p. G могут встречаться в качестве такого предела. Будет показано, что все возможные невырожденные ф. p. G, которые могут встречаться в качестве пределов в (1.1.3), образуют в точности тот самый класс максимум-устойчивых распределений, который рассматривается в разд. 1.3. Мы увидим в дальнейшем, что каждое максимум-устойчивое распределение имеет (с точностью до преобразований сдвига и масштаба) одну из следующих трех параметрических форм, обычно (и не вполне точно) называемых тремя распределениями экстремальных значений.

Центральным результатом, используемым при построении теории, является теорема Хинчина о сходимости функций распределения. Хотя ее можно получить, отправляясь и от других исходных позиций, мы для полноты изложения докажем этот важный результат в разд. 1.2 наряду с некоторыми полезными результатами, относящимися к обращению монотонных функций. В разд. которые могут служить пределами в (1.1.3), отождествляются с максимум-устойчивыми распределениями (определяемыми в этом разделе). Затем, в разд. 1.4, они отождествляются с распределениями экстремальных значений, что и завершает доказательство теоремы об экстремальных типах.

В силу (1.1.2) соотношение (1.1.3) можно записать в виде

где символ обозначает, как и выше, сходимость в точках непрерывности предельной функции. Если соотношение (1.1.4) выполняется для некоторых последовательностей то мы будем говорить, что ф. p. F принадлежит к (н. о. области притяжения (для максимумов) закона и писать Известны необходимые и достаточные условия, определяющие, какое именно из возможных предельных распределений реализуется (если таковое имеется), т. е. условия, при которых Эти условия будут сформулированы в разд. 1.6. Там же приведены доказательства их достаточности. (Доказательства необходимости указанных условий довольно длинны, и, поскольку они не являются нашей целью, мы их опускаем.) Мы приводим также некоторые простые и полезные достаточные условия, принадлежащие Мизесу, которые применимы в довольно общем случае, когда ф. p. F имеет плотность.

Исследование в разд. 1.6 будет опираться в основном на весьма простой результат о сходимости, приведенный в разд. 1.5. Этот результат указывает условия сходимости последовательности вероятностей где произвольная последовательность вещественных постоянных. (В случае когда выполняется (1.1.3), такая сходимость сохраняется для всех членов семейства последовательностей где х принимает все возможные вещественные значения.)

Как нетрудно догадаться из предыдущего (это будет позднее обсуждено более полно), может случиться так, что для заданной ф. p. F вовсе не существует такой ф. p. G, что Это означает просто, что максимум не имеет невырожденного предельного распределения ни при какой линейной нормализации (как мы увидим позднее, обычным примером этого является распределение Пуассона). С другой стороны, пределы могут существовать и для других заслуживающих внимания последовательностей не обязательно имеющих вид и даже не зависящих от параметра х.

Указанный простой результат о сходимости, как отмечалось, играет важную роль в связи с областями притяжения. Однако он также весьма важен и для дальнейшего развития теории как для случая н. о. р. величин в этой и следующей главе, так и для зависимых последовательностей в последующих главах.

Наконец, разд. 1.7 содержит дальнейшие примеры и замечания относительно некоторых частных случаев, а в разд. 1.8 приведено краткое обсуждение результатов, относящихся к минимуму.