3.4. Сходимость последовательности ... при наличии зависимости

До сих пор мы имели дело с результатами, указывающими возможные формы предельных распределений экстремальных значений. Теперь мы обратимся к вопросу о существовании такого предела в том смысле, что мы сформулируем условия, при которых для стационарных последовательностей равносильны (1.5.1) и (1.5.2), т. е. условия, при которых соотношение

равносильно соотношению

Как отмечалось выше, из этих результатов будет непосредственно вытекать (это будет показано подробно в следующем разделе), что классические (для н. о. р. с. в.) критерии для областей притяжения можно применять и для таких надлежащим образом зависимых последовательностей.

Из приводимого ниже вывода можно увидеть, что если выполнено (3.4.2), то условие гарантирует выполнение соотношения Однако, чтобы получить противоположное неравенство для верхнего предела, необходимо ввести некоторое дополнительное предположение. Можно использовать различные формы такого предположения. Здесь мы довольствуемся следующим простым вариантом условий, использовавшихся в работах Ватсона (1954) и Лойнеса (1965), на который мы будем ссылаться как на условие

Будем говорить, что для стационарной последовательности и числовой последовательности выполнено условие если

(Здесь обозначает целую часть числа.)

Заметим, что если выполнено (3.4.2), то уровень в (3.4.3) таков, что в среднем его превышают приблизительно из с. в. и соответственно из с. в. Условие ограничивает вероятность того, что уровень превышают более одной из с. в. В конечном счете (как мы увидим позднее) это будет обеспечивать отсутствие кратных точек в точечном процессе превышений, что, конечно, необходимо при получении простого пуассоновского предела для исследуемого точечного процесса.

Наш основной результат обобщает теорему 1.5.1, давая возможность ее использования для стационарных последовательностей при условиях Часть этой теоремы, соответствующая необходимости, впервые была доказана Дэвисом (1979).

Теорема 3.4.1. Пусть такая числовая последовательность, что для стационарной последовательности выполнены условия Тогда соотношения (3.4.1) и (3.4.2) равносильны, т. е. тогда и только тогда, когда (здесь

Доказательство. Зафиксируем и для каждого введем обозначение Поскольку

мы имеем

Используя стационарность, легко получаем отсюда, что

где Поскольку из условия вытекает, что при

Предположим теперь, что выполнено (3.4.2). Тогда так что, устремляя к бесконечности в (3.4.4), получаем

Возводя каждый член в степень и используя (3.3.6), находим

Полагая убеждаемся в том, что предел существует и равен что и требуется для установления (3.4.1).

Обратно, если выполнено (3.4.1), т.е. при то мы имеем из (3.4.4) (где

Но поскольку то (3.3.6) показывает, что так что, полагая в (3.4.5), получаем (поскольку )

откуда (умножая на и полагая находим, что так что (3.4.2) выполнено.

Если то условие не выполняется даже для н. о. р. последовательностей. Однако результат будет применим также и при если для таких последовательностей условия модифицировать естественным образом. Это показывает

Следствие 3.4.2. Те же самые выводы остаются в силе и при тогда и только тогда, когда если требование выполнимости заменить следующим условием: для произвольно большого существует такая последовательность что и выполняются условия

Доказательство. Зафиксируем Если то очевидно, что для достаточно больших так что по доказанной теореме

Поскольку это выполняется для произвольно больших то, полагая находим, что

Обратно, пусть Зафиксируем Пусть некоторая последовательность (удовлетворяющая такая, что Тогда так что, очевидно, для достаточно больших имеют место неравенства что приводит к соотношению Поскольку оно выполняется для произвольно большого мы должны иметь что и требовалось доказать.

Заметим, что если условия выполнены и предполагается, что (3.4.3) выполняется только для некоторой подпоследовательности целых чисел, т. е. при то такое же доказательство показывает, что (3.4.1) выполняется для этой подпоследовательности, т. е. Этот подход может быть использован для

получения альтернативного доказательства утверждения теоремы о том, что (3.4.1) влечет за собой (3.4.2), на основе предположения о существовании некоторой подпоследовательности для которой