12.2. Максимумы на конечных интервалах

Мы начинаем вывод с одного общего результата, представляющего и самостоятельный интерес, дающего оценку вероятности большого уклонения. Это частный случай результата, анонсированного Ферником (1964), доказательство которого было приведено Маркусом (1970).

Лемма 12.2.1. Если норма гьный процесс, имеющий нулевое среднее и дисперсию и

для некоторого то существует такая постоянная зависящая только от а, что для всех

Если то последнее слагаемое равно нулю.

Доказательство. Идея доказательства состоит в том, чтобы выразить все в двоичной форме затем записать в виде

и построить границы для каждой составляющей в этой бесконечной сумме. Для определим

и заметим, что поскольку с. в. нормальна и имеет нулевое среднее, то

Возьмем и введем событие

Если то неравенство Буля совместно с (12.2.3) дает

так что если то Следовательно,

Но для это выполняется тривиальным образом (поскольку и мы можем поэтому использовать (12.2.4) для всех значений

Заметим теперь, что при выполнении дополнительного события

для и что из (12.2.1) вытекает неравенство

Таким образом, в силу (12.2.2) заключаем, что на

и что, следовательно, согласно (12.2.4),

Заключение леммы достигается теперь посредством выбора поскольку

где использовано неравенство из (12.2.3).

Имея этот вспомогательный результат, мы возвращаемся к процессу с нулевым средним, единичной дисперсией и ковариационной функцией При рассмотрении распределения непрерывного или дискретного максимума типа естественно вести рассмотрение относительно значения В действительности локальное поведение (12.1.1) функции отражается в локальной изменчивости значений относительно значения В случае нормальных процессов соответствующее определение не вызывает никаких трудностей, если рассматриваются значения только в конечном числе точек, скажем поскольку условные вероятности определяются тогда через отношения функций плотностей (см. разд. 7.5). Следовательно, мы можем записать при

где условная вероятность может быть выражена через (условную) нормальную функцию плотности (см. гл. 10). В частности, эта условная вероятность определяется условными средними и ковариациями.

Для максимумов на интервале мы имеем, взяв, например,

что по теореме о мажорируемой сходимости равно

Далез, условные средние и ковариации при заданном таковы, что нормальный процесс, ими определяемый, непрерывен, то мы определяем

как вероятность того, что для непрерывного нормального процесса, имеющего среднее и ковариационную функцию указанный максимум не превосходит значення и. Тогда ясно, что

В приводимых далее приложениях условные распределения определяют непрерывный процесс, и мы будем использовать подобные этому выражения без специальных замечаний.

Для того чтобы получить при нетривиальные пределы, мы введем шкалированный процесс

где мы устремляем к нулю при Здесь мы должны точнее описать эту сходимость по сравнению с главой 8. Мы будем предполагать, что и на более позднем этапе устремим это а к нулю.

Лемма 12.2.2. Предположим, что и таким образом, что Тогда

(i) условные распределения случайных величин при условии (0) нормальны и

где при фиксированном х величины о (1) равномерны для для всех ,

(ii) для всех существует такая не зависящая ни от а ни от х постоянная К, что для

Доказательство, (i) Поскольку процесс нормальный, со средним и ковариационной функцией

получаем (см., например, Рао (1968, с. 467)), что указанные условные распределения нормальны и

поскольку фиксировано. Кроме того,

равномерно для .

(ii) Поскольку с. в. нормальны, имеют дисперсии соответственно и ковариацию то для некоторой и

Первый этап получения хвоста распределения состоит в изучении максимума, берущегося по конечному числу точек

Лемма 12.2.3. Для каждого С существует такая постоянная что если и то

Доказательство. Мы имеем

где Поскольку к тому же с. в. (0) нормальна со средним и дисперсией то

Согласно лемме 12.2.2 (i), для любого фиксированного х при

Поскольку пределы ковариаций являются ковариациями, можно определить нормальные с. в. со средними и дисперсиями, зависящими от

Далее, для совместно нормальных с. в. из сходимости моментов вытекает сходимость по распределению (что легко увидеть, используя, например, характеристические функции). Если (с границей то, очевидно,

что равно нулю в силу непрерывности одномерных распределений всех с. в. Отсюда следует что

Чтобы в (12.2.5) можно было использовать теорему о мажорируемой сходимости, мы заметим, что по лемме для

длят некоторых гпостоянных Это показывает, что сходимость в (12.2.5) мажорируемая, и мы получаем

что доказывает существование и конечность постоянной На

Для будущего использования мы приведем следующее выражение для константы На

Лемма 12.2.4. Предположим, что и и возьмем такое чтобы для всех Тогда для каждого С

(i) существует такая постоянная На что

и

(ii) для некоторого

Доказательство, (i) Пусть фиксированное целое,

Тогда

где, в силу леммы 12.2.3,

поскольку по предположению. Поэтому

Кроме того,

так что

Мы покажем, что

В силу неравенства Буля и стационарности

Чтобы оценить эти суммы, будем использовать различные методы для малых и больших значений Пусть таково, что

Предположим, что и будем писать Поскольку условное распределение с. в. при заданном нормально со средним и дисперсией то

Здесь

для некоторой постоянной Поэтому если то

для некоторой постоянной Поскольку то сумма

сходится, и поскольку при и фиксировано), то

Для второй суммы в (12.2.10) мы получаем при снова используя (12.2.11) и (12.2.12),

где сумма справа сходится. Для слагаемых с воспользуемся оценкой из следствия 4.2.4 (используя

из которой вытекает, что

Поскольку опять правая часть ограничена величиной

так как

Вместе (12.2.15) и (12.2.16) дают

Объединяя это с (12.2.14) и (12.2.10), получаем (12.2.9). Таким образом, мы показали, что

где при Поскольку На для всех не зависят от отсюда вытекает существование предела

который является поэтому общим значением для Кроме того, это доказывает, что На Снова возьмем достаточно малым, чтобы (12.2.12) выполнялось для Применяя (12.2.11), получаем для

и, следовательно, тогда существует, разумеется, только одно делающее эту сумму меньшей, чем 1 2. Это приводит к неравенству для некоторого из которого очевидным образом вытекает (ii).

Следующие три леммы связывают непрерывный максимум с дискретным максимумом Мы докажем сначала, что можно пренебречь вероятностью того, что этот дискретный максимум будет меньше, чем а непрерывный больше, чем и, если

Лемма 12.2.5. Пусть и и пусть для некоторой положительной постоянной Тогда

Доказательство. В силу неравенства Буля и стационарности имеем

Используя , мы можем записать

По лемме 12.2.2 (i) условные распределения с. в. при заданном нормальны и имеют среднее

где равномерно на отрезке Здесь для малых и

где при условии заданного разность является нестационарным нормальным процессом с нулевым средним. По теореме 12.2.2 (ii) дисперсия приращения

для некоторой постоянной К, не зависящей от а и у. Из леммы Ферника (лемма 12.2.1) следует, что для

и поэтому, используя в качестве общих обозначений для различных постоянных, мы получаем

что, очевидно, стремится к нулю при а поскольку Это доказывает лемму.

Лемма 12.2.6. Если для некоторой постоянной то с тем же что и в лемме 12.2.4,

Доказательство. Поскольку из условия вытекает, что и поскольку к тому же

при и из леммы следует, что

Лемма 12.2.7. При выполнении условий леммы 12.2.4

где лемме при ,

(ii) существует конечный предел

и

(iii) не зависит от С.

Доказательство. Поскольку

часть (i) вытекает непосредственно из лемм 12.2.4, 12.2.5 и 12.2.6.

Далее, оба предела в (12.2.17) не зависят от а, так что Поэтому при а О

Отсюда, поскольку как и в доказательстве леммы 12.2.4 (i), следует, что На (а) существует, конечен и выполняется

Что касается части (iii), то заметим: когда удовлетворяет (12.1.1), тогда ковариационная функция процесса удовлетворяет соотношению

Кроме того,

что в силу (ii), показывает, что На не зависит от С.

Из (12.2.18) и леммы немедленно следует, что

Разумеется, соотношение (12.2.18) представляет основной интерес, когда Однако, чтобы доказать это, требуются некоторые дополнительные усилия, реализуемые следующим образом.

Лемма 12.2.8. .

Доказательство. На основании леммы мы знаем, что существует такое что

Пусть такие же с. в., как и в доказательстве леммы 12.2.3, т. е. нормальные со средним — и ковариациями Тогда из (12.2.6) имеем

Здесь имеют те же распределения, что и откуда следует, что для

Случайные величины, участвующие в определении На являются некоторым подмножеством множества случайных величин, участвующих в определении На Поэтому

и, поскольку при отсюда вытекает утверждение леммы.

Объединяя леммы 12.2.7 и 12.2.8, мы получаем хвост распределения максимума на фиксированном интервале.

Теорема 12.2.9. Если удовлетворяет условию (12.1.1), то для каждого фиксированного такого что для всех

где конечная постоянная, зависящая только от а.

Замечание 12.2.10. В доказательстве теоремы 12.2.9 мы установили существование константы На, используя довольно сложные оценки, начиная с

Следуя этим оценкам и далее, можно получить родственное соотношение для На,

где нестационарный нормальный процесс со средним — и ковариациями Однако оно не представляется достаточно ценным и не оказывает существенной помощи при вычислении На.

Следует отметить, однако, что нормированный по времени хвост распределения зависит от ковариационной функции только через и константу . Поэтому если дается найти предельную форму хвоста распределения (для некоторого Л) для какого-нибудь одного процесса, удовлетворяющего (12.1.1), то тем самым становится известным значение На для такого частного значения а. В случае это легко сделать, рассматривая простой косинус-процесс (7.4.3). Сравнивая (7.4.7) и теорему 12.2.9, находим, что

Единственным отличным от значением которого найден хвост распределения является В действительности для нормального процесса, имеющего треугольную ковариационную функцию известны явные выражения для всего распределения (см. Слепян (1961) и как результат В частности, это показывает, что для процесса Орнштейна-Уленбека, имеющего ковариационную функцию

Прежде, чем перейти к максимумам на расширяющихся интервалах, мы сформулируем следующую лемму, на которую будем в дальнейшем ссылаться.

Лемма 12.2.11. Предположим, что удовлетворяет условию (12.1.1), пусть фиксировано и таково, что для всех и пусть и Тогда для каждого интервала I длины

где при и - составляющая одна и та же всех интерва длины

Доказательство. В силу стационарности

где Поэтому искомый результат немедленно вытекает из леммы 12.2.4 (t):

и