6.2. Асимптотическое распределение максимума

Результаты последнего раздела могут быть использованы для получения фактического асимптотического распределения максимума во многих случаях, представляющих интерес. Мы будем уделять особое внимание стационарным нормальным последовательностям, на которые накладывается известный (или, что возможно более реально, хорошо оцениваемый) тренд или сезонная составляющая. Мы увидим, как в таком случае надо модифицировать классические нормализующие константы, чтобы учесть аддитивную составляющую. В общих чертах мы следуем здесь результату Горовица (1980) (с необходимым исправлением одной

нормализующей константы, указанным ниже), но при используемых нами типах условий на корреляцию. Однако, как мы увидим позже, эти результаты применимы без изменений и к нестационарной нормальной последовательности, имеющей постоянную, скажем, единичную дисперсию и произвольные корреляции, удовлетворяющие обычным условиям

Затем займемся максимумами нормальной последовательности где нормальная последовательность, определенная в предыдущем разделе аддитивные детерминированные составляющие. Отсюда, конечно, вытекает, что Мы будем предполагать, что постоянные таковы, что

Это ограничение вполне естественно на практике и включает не только наиболее важный случай ограниченных рассмотренный в работе Горовица (1980), но и ряд неограниченных трендов. Разумеется, можно было бы рассмотреть константы, стремящиеся к бесконечности и более быстрым образом, но это могло бы привести к вырожденным результатам. Следует указать, что ограничение (6.2.1) может быть ослаблено соответствующим образом путем ограничения не поскольку, как можно заметить, с малыми имеют меньше шансов давать максимальное значение и на них можно не обращать внимания. Тем не менее для упрощения формулировок и выкладок удобно требовать выполнения (6.2.1) в том виде, в каком оно сформулировано, и этого будет достаточно практических целей.

Будет показано, что обычный предельный закон еще сохраняет силу, если классическую константу заменить на где выбирается таким образом, что и

где Получение решения соотношения (6.2.2) (скажем, путем приравнивания левой части (6.2.2) единице) может представлять сложную численную задачу, хотя для больших решение с очевидно, существует при выполнении (6.2.1). Так будет для которая удовлетворяет неравенствам когда

В некоторых случаях мы найдем явное выражение для например когда ограниченны. (Простая форма для приведенная у Горовица (1980), вообще говоря, не верна даже для ограниченных хотя она и применима при некоторых дополнительных условиях.) Пользуясь теми же обозначениями, приведем теперь основной результат.

Теорема 6.2.1. Пусть определяется, как и выше, соотношением где нормальная последовательность с нулевыми средними, единичными дисперсиями и такими корреляциями что Гц при Пусть удовлетворяет (6.2.1) и определяется соотношением (6.2.2). Тогда максимум удовлетворяет соотношению

где задаются соотношением (1.7.2).

Доказательство. Обозначим где Тогда левую часть (6.2.3) можно записать в виде

Поскольку для достаточно больших (см. (4.3.2) (ii)), отсюда следует, что Таким образом, если показать, что (6.1.3) выполняется то искомый результат будет следовать из теоремы 6.1.3. Убедимся в том, что (6.1.3) выполняется. Заметим, что так как при то

поскольку

равномерно по Но, кроме того,

если в используются явные выражения для из (1.7.2). Поэтому в силу (6.2.1) и (6.2.4)

поскольку выполнено (6.2.2) и Следовательно, выполняется (6.1.3) и доказательство теоремы закончено.

Как указывалось выше, иногда удается получить явное выражение для Предположим, например, что ограниченны и Предположим, что из равны где Тогда могут быть взяты равными

Действительно, легко убедиться, что и что выбор удовлетворяет (6.2.2). Это и есть формула для приведенная у Горовица (1980), которая действительно выполняется в этом и подобных случаях.

Однако если предполагается только, что ограниченны, то выбор в качестве уже не удовлетворяет (6.2.2) и в действительности не достаточен для (6.2.3). Простой пример такого случая можно построить, полагая из равными а остальные из них равными —1, где Тогда нетрудно убедиться в том, что предел левой части (6.2.2) равен и что в действительности Как легко видеть, (6.2.3) не выполняется. (Конечно, в этом случае требуется модификация

В ситуациях, где ограниченны (или, более общим образом, когда подходящей формой для оказывается

где

Повторяя эту процедуру, можно получить явные выражения для в случаях, когда растут ботее быстро (но все еще выполняется условие