15.2. Пуассоновские превышения и показательные времена ожиданий

Пуассоновский характер превышений или выходов за высокий уровень и показательные времена ожиданий между последовательными превышениями сочетаются со слабой зависимостью максимумов на соседних интервалах. Это было замечено эмпирическим путем в связи с редкими событиями, возникающими вследствие маловероятных комбинаций безобидных событий, такими, как экстремальные наводнения или штормовые ветры и экстремальные нагрузки в механических конструкциях.

Пример 15.2.1 (большой расход воды в реках). Тодоровиц (1979) получил наблюдаемые частоты для числа тех из дней, в течение которых расход воды в реке Гринбайе (Западная Вирджиния) превышал уровень 17 тысяч кубических футов. Полный период наблюдений составлял 72 года (с 1896 по 1967). Наблюдаемые частоты вместе с теоретическими пуассоновскими вероятностями показаны на рис. 15.2.1 для нескольких значений

Для такого типа рек и такого климата распределение Пуассона дает приемлемое согласие с наблюдаемым распределением. Период между превышениями также велик, и поэтому независимость возможна.

В других зонах, для климата которых характерно чередование дождливых и сухих периодов, превышения могут наблюдаться группами, и тогда они, разумеется, отклоняются от распределения Пуассона.

Если группы превышений не наблюдаются, то можно использовать аппроксимацию

Рис. 15.2.1. Наблюдаемое (сплошная линия) и подогнанное пуассоновское (пунктирная линия) распределения для количества превышений в интервале дней. Данные о разливах из работы Тодоровица (1979).

где среднее число превышений уровня и в единицу времени если время дискретно). Другими словами, более подходящие аппроксимации для вероятности отсутствия превышений можно получить, используя интенсивность пересечений для гладкого, огибающего процесса.

Однако, даже если (15.2.1) дает хорошую аппроксимацию для вероятности отсутствия превышений, все же остается более трудная задача определения вида интенсивности пересечений как функции от и. В случае дискретного времени задается маргинальной ф. р., в то время как в случае непрерывного времени, согласно (7.2.3),

Здесь помимо плотности необходимо знать также и среднюю крутизну выборочных функций на различных уровнях. Для нормальных процессов выражается формулой (7.3.4). Эту интенсивность можно вычислить точно и для нескольких процессов, отличных от нормальных, некоторые из которых являются функциями многомерных нормальных процессов, как, например, -процесс; см. Беляев (1968), Беляев и Носко (1969), Венециано (1979), Хэсофер (1976) и Линдгрен (1980 b, c).

Даже если средняя интенсивность пересечений имеет известную функциональную форму, прежде чем воспользоваться соответствующей формулой, на практике приходится оценивать некоторые параметры на основе наблюдений. Например, если стационарный нормальный процесс со средним и дисперсией то

так что необходимо оценить три параметра: равное среднему числу выходов за уровень в единицу времени. При больших значениях предсказания, производимые на основании этой формулы, могут быть весьма ненадежными.

Пример 15.2.2 (частота разрывов бумаги; см. пример 14.2.1). Рулон бумаги, проходящий через печатный станок, подвергается растяжению, которое может приводить к разрыву рулона. Поскольку обычно разрыв начинается с одного из краев рулона, мы можем моделировать это явление, рассматривая локальную прочность бумаги (вдоль любого из ее краев) как стационарный случайный процесс с одномерным параметром соответствующим длине бумаги.

В примере 14.2.1 объектом исследования был для малых значений до и из этого примера мы заключили, что для этих конкретных типов бумаги средняя локальная прочность определенно не меньше, чем Предположим теперь, что для малых значений и интенсивность входов под уровень и такая же, как и для нормального процесса, т. е.

(Это согласуется с примером 14.2.1, который не исключает убывания средней прочности с увеличением длины по типу Предположим, далее, что мы можем прогонять рулон через станок, используя последовательность различных уровней растяжения. Эксперимент, производящийся при уровне растяжения приведет к наблюдению длины, при которой произойдет первый разрыв; мы обозначим ее Растягивающее усилие может изменяться от эксперимента к эксперименту. Таким образом, мы получаем последовательность уровней растяжения и соответствующие этим уровням длины до обрывов рулона

В соответствии с пуассоновским характером экстремальных пересечений при малых значениях указанные приблизительно независимы и имеют показательные распределения со средними так что можно записать

где с. в. приблизительно независимы и имеют Таким образом, (15.2.2) является уравнением регрессии, на основании которого можно оценить Однако для получения хороших оценок этих параметров необходимо распространить уровни на более широкую область значений, а это не всегда возможно в условиях эксперимента. Относительно обсуждения эффективности оценок см. Хольберг и де Маре (1976).