11.2. Экстремальные значения и пересечения для зависимых процессов

Одна замечательная особенность зависимых нормальных процессов заключается в том, что независимо от того, сколь высока корреляция — почти вплоть до полной корреляции, — количества пересечений высокого уровня различными процессами, как показано у Линдгрена (1974), асимптотически независимы. Это будет доказано также с помощью нормальной леммы сравнения.

Пусть совместно нормальные процессы с нулевыми средними, единичными дисперсиями и ковариационными функциями Мы будем предполагать, что они совместно стационарны, т. е. ковариации не зависят от и будем использовать обозначение

для взаимной ковариационной функции. Предположим далее, что каждая функция удовлетворяет соотношению (8.1.1), возможно, с различными т. е.

и что

для Для исключения возможности того, что Для некоторых и некоторого выбора и знака или мы предполагаем, что

Тем не менее мы отметим здесь, что если для некоторых , то найдется такое что а это означает, что Максимум процесса является поэтому минимумом процесса как было показано в первом разделе этой главы, максимумы и минимумы асимптотически независимы. В действительности за счет некоторого усложнения доказательства условие (11.2.3) можно ослабить до

Определим

и пусть такие уровни, для которых

при Обозначим

Для доказательства асимптотической независимости максимумов аппроксимируем их максимумами на отделенных интервалах для фиксированного и затем заменяем непрерывные максимумы максимумами квантованных процессов для получения асимптотической независимости максимумов на различных интервалах. Мы только кратко укажем на те изменения, которые надо сделать в предыдущих доказательствах. Основной новый аргумент, используемый здесь, связан с максимумами на одном фиксированном интервале, скажем

Сначала мы установим асимптотическую независимость максимумов на непересекающихся интервалах.

Лемма 11.2.1. Если удовлетворяют соотношениям для и если , то для

Доказательство. Искомый результат соответствует соотношению (11.1.6) в доказательстве теоремы 11.1.5 и доказывается

аналогичными средствами. Единственное, что требует другого доказательства, это соотношение

соответствующее лемме

Отождествляя случайные величины в следствии 4.2.2 и аналогично с независимыми величинами из различных интервалов из (4.6.2) находим, поскольку для что

Здесь 2, как и прежде, указывает, что сумма берется по тем значениям для которых принадлежат различным Поскольку и мы можем, как и в лемме заключить, что обе суммы в (11.2.5) стремятся к нулю.

Лемма 11.2.2. Если удовлетворяют условиям (11.2.1) и (11.2.3) для то

и

Доказательство. (i) Как и при доказательстве леммы 11.1.4, достаточно доказать, что если таким образом, что достаточно медленно, то

Поскольку для

и, следовательно,

Теперь ясно, что достаточно доказать только, что

Для оценивания этой разности снова используем следствие 4.2.2, где определяется функциями получается приравниванием нулю для Элементарные вычисления показывают, что разность в (11.2.6) равна

а эта разность в силу следствия 4.2.2 ограничена по абсолютной величине суммой

где

Далее, в соответствии с для некоторого Используя это, мы можем ограничить сумму (11.2.7) величиной

если достаточно медленно, поскольку отношение ограниченно.

Часть (ii) сразу следует из части (i) и неравенства

Рассуждая, как и при доказательстве теоремы 8.2.5, и используя лемму 11.2.1 и лемму получаем следующий результат.

Теорема 11.2.3. Пусть при таким образом, что

и предположим, что совместно стационарные нормальные процессы удовлетворяют условиям (11.2.1)-(11.2.3). Тогда при

При тех же самых условиях, что и в теореме 11.2.3, нормированные во времени точечные процессы выходов за один или несколько уровней сходятся совместно по распределению к независимым, биномиально прореженным пуассоновским процессам. Аналогично в условиях теоремы 9.5.2 точечные процессы нормированных локальных максимумов сходятся к независимым пуассоновским процессам на плоскости. Мы сформулируем последний результат в виде теоремы, оставляя ее доказательство, как и доказательство первого результата, читателю.

Для предположим, что имеет локальные максимумы в точках и пусть обозначает точечный процесс нормированных локальных максимумов.

Теорема 11.2.4. Предположим, что стандартизованные стационарные нормальные процессы имеют непрерывно дифференцируемые выборочные функции и два раза дифференцируемы в среднем квадратичном и что их ковариационные и взаимные ковариационные функции удовлетворяют условиям Тогда точечные процессы нормированных максимумов асимптотически независимы и каждый из них сходится при к пуассоновскому процессу на имеющему меру интенсивности как и в теореме 9.5.2.

Мы завершаем эту главу примером, иллюстрирующим необычный характер поведения экстремумов нормальных процессов.

Пусть независимые стандартизованные нормальные процессы, ковариационные функции которых и удовлетворяют условиям (8.1.1) и (8.1.2), пусть константы удовлетворяют неравенству для и

Тогда процессы совместно нормальны и их ковариационные функции и взаимные ковариационные функции

удовлетворяют Таким образом, даже несмотря на то что процессы линейно зависимы, их максимумы асимптотически независимы.

Мы можем проиллюстрировать это геометрически, представляя точкой, случайным образом перемещающейся на плоскости. Выходы процесса за уровень соответствуют тогда выходам за прямую

как показано на рис. 11.2.1. Моменты этих выходов образуют асимптотически независимые пуассоновские процессы, если время нормировано таким образом, что

Рис. 11.2.1. Выходы двумерного нормального процесса за прямые