1.5. Сходимость вероятностей

Мы уже изучали сходимость вероятностей типа которые можно записать в виде где Такая сходимость требовалась для каждого х. С другой стороны, интересно рассмотреть и такие последовательности которые могут либо просто не зависеть ни от какого параметра х, либо являются более сложными функциями, чем рассматривавшиеся выше линейные функции. Следующая теорема почти тривиальна для н. о. р. с. в., но тем не менее весьма полезна (как мы видим в следующем разделе) и будет обобщена в ряде важных направлений с тем, чтобы она могла быть применена к зависимым (стационарным) последовательностям и к процессам с непрерывным временем.

Теорема 1.5.1. Пусть последовательность н. о. р. с. в. Пусть и предположим, что последовательность вещественных чисел, для которой

Тогда

Обратно, если (1.5.2) выполняется для некоторого то выполняется и (1.5.1).

Доказательство. Предположим сначала, что Если выполнено, то величину

можно записать в виде так что (1.5.2) получаем непосредственно.

Обратно, если выполнено то мы должны иметь (Поскольку в противном случае последовательность была бы отделена снизу от нуля для некоторой подпоследовательности что приводило бы в соответствии с (1.5.3) к заключению о том, что Переходя к логарифмам в (1.5.2) и (1.5.3), получаем

так что что приводит к искомому результату.

Наконец, если и (1.5.1) выполняется, а (1.5.2) не выполняется (т. е. то должна существовать такая подпоследовательность что при для некоторого Но, как и выше, (1.5.2) влечет за собой (1.5.1) с заменой на так что что противоречит предположению о выполнимости Подобным же образом при из (1.5.2) вытекает (1.5.1).

Следующие простые результаты получаются как непосредственные следствия. Мы используем обозначение введенное ранее для правой концевой точки ф. p. F.

Следствие с вероятностью 1 при Если (т. е. если имеет скачок в концевой точке) и если для некоторой последовательности при имеет место сходимость то или 1.

Доказательство. Если то так что (1.5.1) выполняется с и из (1.5.2) вытекает, что Поскольку, как очевидно, для всех то отсюда следует, что по вероятности. Поскольку последовательность монотонна, она сходится п. н., и поэтому н. Отсюда вытекает (i).

Предположим теперь, что Пусть такая последовательность, что Поскольку мы можем записать силу теоремы 1.5.1 получаем Если для бесконечно многих значений то, поскольку для таких значений мы должны иметь Единственная альтернативная возможность состоит в том, что для всех достаточно больших значений а это дает так что Таким образом, или 0, и поэтому или 1, что доказывает

В следующем разделе мы займемся общим вопросом об областях притяжения распределений экстремальных значений (взяв за основу теорему 1.5.1). В то же время для целей этой книги наиболее важное значение имеют нормальные последовательности. Поэтому мы покажем сейчас, как теорему 1.5.1 можно использовать непосредственно для получения предельного закона (типа I) для нормальных последовательностей н. о. р. с. в. Как будет видно в дальнейшем, эта теорема применяется непосредственно, хотя и требует выполнения некоторых вычислений. Всюду в этой и во всех последующих главах символами будем обозначать функцию стандартного нормального распределения и его плотность соответственно. Мы неоднократно будем иметь возможность использовать хорошо известное соотношение для хвоста функции приводимое здесь для удобства ссылок:

Теорема 1.5.3. Если последовательность н. о. р. (стандартных) нормальных с. в., то асимптотическое распределение максимума является распределением типа

Более точно,

где

Доказательство. Представим в (1.5.1) в виде Тогда мы можем взять Поскольку то мы имеем , и поэтому — или

Отсюда сразу следует, что и поэтому

или

Подставляя это в (1.5.6), получаем

или

и поэтому

так что

Отсюда, поскольку в силу (1.5.2) где имеем

или

откуда вытекает требуемое соотношение (1.5.5).

Хотя этот вывод несколько загроможден вычислительными деталями, в нем нет особых трудностей, так что формула (1.5.5) легко выводится из (самого по себе простого) результата (1.5.2). Те же самые аргументы могут быть и будут позднее приспособлены и к задачам с непрерывным временем.