Глава 15. Применение экстремумов и пересечений в условиях зависимости

В настоящей главе мы представим некоторые примеры процессов с непрерывным параметром и последовательностей с зависимостью, в которых теорию экстремальных значений можно применить целей описания или предсказания.

Прежде всего иллюстрируется важное различие между экстремумами для непрерывного и дискретного времени и на некоторых примерах обсуждается пуассоновский характер превышений и выходов. Описательные модели для некоторых физических явлений рассматриваются в связи с областями притяжения, в частности в связи со смесями распределений со случайным параметром масштаба или положения. Важной задачей, идущей следом за многими задачами, связанными с экстремумами, является экстраполирование распределений экстремальных значений на расширяющиеся интервалы (см. обсуждение влияния размера в гл. 14). Это приводит к нескольким статистическим процедурам, связанным с выбором надлежащих нормализующих констант и влиянием нестационарности. Завершает главу обсуждение этих и еще нескольких примеров использования локальных экстремумов для описания случайных волн.

15.1. Экстремумы в случае дискретного и непрерывного времени

Многие физические явления представляются непрерывными по своей природе, и математические модели, которые их описывают, естественно формулируются с помощью процессов с непрерывным временем. Что касается экстремальных значений, то во многих случаях основной интерес представляют экстремумы для

непрерывного времени. Однако большинство статистических наблюдений получается посредством некоторой процедуры квантования, и это приводит к тому очевидному эффекту, что во многих случаях экстремумы становятся менее выраженными. Поскольку и в

Рис. 15.1.1. (см. скан) (а) максимальные и (b) минимальные зарегистрированные температуры июля в Уппсале. Стрелкой отмечено введение в 1839 г. термометра, регистрирующего максимальную и минимальную температуры в течение суток

непрерывном, и в дискретном случаях имеются достаточно полные (асимптотические) теории для экстремумов (по крайней мере для нормальных процессов), то естественный вопрос связан с соотношением между ними. Следующие примеры иллюстрируют некоторые практические последствия различия между дискретными и непрерывными экстремумами.

Пример 15.1.1. (экстремальные температуры). Эксперименты с термометрами и измерениями температуры были начаты в Уппсале (Швеция) около 1712-1713 г. вскоре после того, как Фаренгейт изобрел в 1709 г. свою температурную шкалу. Андерс Цельсий способствовал большему упорядочению этих измерений, и с января 1739 г. имеется почти полная последовательность ежедневных измерений температуры.

В течение первых ста лет этого периода измерения производились лишь три или четыре раза в день, а иногда и через неравномерные интервалы. В 1839 г. стали возможными наблюдения истинных максимумов и минимумов в связи с установкой термометра, фиксирующего максимальную и минимальную температуру. Таким образом, следует ожидать, что для периода с 1739 по 1838 г. наблюдавшиеся максимум и минимум менее выражены, чем для записей, проводившихся с 1839 г. Можно ожидать, что этот эффект особенно велик для минимальной температуры в течение летних месяцев, поскольку наименьшие температуры наблюдаются в этой местности в очень ранние утренние часы, в то время как дискретные измерения обычно производились через несколько часов после восхода солнца. Это иллюстрируется на рис. 15.1.1, который показывает наблюдавшиеся месячные максимумы и минимумы для июля каждого года (кроме нескольких пропущенных лет в 1770-е годы) Данные состоят из значений где, например, максимум дискретного множества июльских температур в году, и из значений где равно абсолютному (непрерывному) максимуму июля в году. Функции распределения этих данных вычерчены на рис. 15.1.2, где знак О соответствует непрерывным, дискретным записям. Имеется явный сдвиг в сторону более выделяющихся значений с введением упомянутого термометра, что было уже видно, по крайней мере для минимума, по полным временным рядам на рис. 15.1.1. Данные нанесены на двойную экспоненциальную вероятностную бумагу, однако согласие не особенно хорошее и нет убедительной причины, объясняющей, почему так должно получиться. Максимальная температура месяца определяется скорее превалирующими погодными условиями этого месяца, чем какой-нибудь экстремальной погодой, которая может наблюдаться в отдельные месяцы.

(кликните для просмотра скана)

Температурные данные в этом примере были извлечены из оригинальных рукописей Сверкером Хелстромом из Уппсалы, которому мы признательны за разрешение воспользоваться ими.