ЧАСТЬ III. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ

В этой части книги мы рассматриваем теорию экстремумов и родственные вопросы для стационарных процессов с непрерывным параметром. Как мы увидим (в гл. 13), можно построить удовлетворительную общую теорию, обобщающую теорию для случая последовательностей, описанную в гл. 3 части II и основанную на условиях зависимости, тесно связанных с условиями, использовавшимися для последовательностей. В частности, будет получена общая форма теоремы об экстремальных типах для максимума

где стационарный случайный процесс, удовлетворяющий надлежащим условиям регулярности и зависимости.

Однако прежде, чем представить эту общую теорию, мы проведем подробное построение для случая стационарного нормального процесса, для которого известно очень много результатов об экстремумах и ряд других родственных результатов. В случае дифференцируемых в среднем квадратичном нормальных процессов полезно и поучительно подходить к теории экстремумов, изучая свойства выходов процесса за высокий уровень (которые аналогичны превышениям, используемым в дискретном случае). Основная конструкция и получающиеся результаты для экстремумов описываются соответственно в гл. 7 и 8.

Как результат этой асимптотической теории появляется возможность показать, что при возрастании уровня точечный процесс выходов все больше походит на пуассоновский точечный процесс. Это и другие более тонкие пуассоновские свойства рассматриваются в гл. 9 и аналогичны соответствующим результатам для превышений уровня стационарными нормальными последовательностями, приведенными в гл. 5.

Пуассоновские результаты дают возможность получить асимптотические совместные распределения для положений и высот любого заданного числа наибольших локальных максимумов.

В гл. 10 изучается локальное поведение стационарного нормального процесса вблизи точки пересечения высокого уровня.

Для описания этого поведения используется, в частности, некоторый простой процесс («модельный процесс Слепяна»), В качестве интересного следствия при надлежащих условиях можно получить предельное распределение высот выбросов стационарных нормальных процессов за высокий уровень.

В гл. 11 мы рассматриваем совместное асимптотическое поведение максимума и минимума стационарного нормального процесса, а также максимумов двух или более зависимых процессов. Показано, в частности, что почти вплоть до полной коррелированности этих процессов такие максимумы асимптотически независимы.

Хотя дифференцируемые в среднем квадратичном стационарные нормальные процессы и образуют существенный класс, имеются важные стационарные случайные процессы (такие, как процесс Орнштейна-Уленбека), которые не обладают этим свойством. Многие из таких процессов имеют ковариационные функции вида где (случай соответствует процессам, дифференцируемым в среднем квадратичном). Теория экстремумов для этих процессов строится в гл. 12 с использованием методов, более тонких, чем методы гл. 8, для которых достаточно было простых соображений относительно выходов.

Наконец, в гл. 13 описывается обещанная общая теория экстремумов (включая теорему об экстремальных типах) для стационарных процессов с непрерывным временем, которые не обязательно должны быть нормальными. Эта теория существенно опирается на результаты части II для дискретного параметра. Здесь используется простой прием, состоящий в представлении максимума процесса с непрерывным параметром на интервале целочисленной длины, скажем как максимума «подмаксимумов», соответствующих интервалам фиксированной длины, а именно

где Следует отметить (как показано в гл. 13), что результаты для стационарных нормальных процессов, приведенные в гл. 8 и 12, могут быть получены из результатов гл. 13. Однако, поскольку значительная часть усилий, требующихся для достижения результатов гл. 8 и 12, необходима также и для проверки выполнения общих условий гл. 13, а также ввиду особой важности нормального случая нам представляется полезным и желательным сначала отдельно исследовать нормальные случайные процессы.