Глава 7. Основные свойства экстремумов и пересечений уровня

Обратимся теперь к стационарным процессам с непрерывным параметром. В этой и в большинстве последующих глав мы в основном будем иметь дело со стационарными нормальными процессами. Однако начнем с обсуждения некоторых основных свойств, которые не связаны с нормальностью процесса и будут использованы при изучении поведения экстремумов в последующих главах.

Наш основной интерес связан с пересечениями уровня стационарными процессами и ожидаемым числом таких пересечений — в частном случае стационарного нормального процесса приводящим к знаменитой формуле для среднего числа выходов в единицу времени, принадлежащей Райсу. Эти результаты обобщаются различными способами на «маркированные пересечения» и ожидаемое число локальных максимумов, получаемое путем рассмотрения входов производной процесса под нулевой уровень.

7.1. Конструкция

Рассмотрим стационарный процесс имеющий не прерывный («временной») параметр Стационарность понимается здесь в строгом смысле, т. е. имеется в виду, что любая группа случайных величин имеет то же самое распределение, что и при любом Это равносильно тому, что конечномерные распределения

таковы, что при любом выборе

Всюду далее без специальных оговорок будет предполагаться, что для каждого случайной величины непрерывна. Кроме того будет предполагаться, что с вероятностью единица выборочные функции процесса непрерывны, т. е. функции являются п. н.-непрерывными как функции от Простые достаточные условия непрерывности выборочных функций будут сформулированы в разд. 7.3 для нормальных процессов. Относительно общего случая мы отсылаем читателя к работам Крамера и Лидбеттера (1969, гл. 4) и Дадли (1973).

Наконец, будет предполагаться, что основное рассматриваемое вероятностное пространство пополнено, если оно не являлось полным. Это означает, в частности, что пределы с вероятностью

единица различных случайных величин сами будут случайными величинами. Этот факт пригодится ниже.

Основной целью в последующих главах будет исследование поведения максимума

(который однозначно определен и достигается, поскольку процесс непрерывен), особенно при больших значениях Часто удобно аппроксимировать процесс последовательностью процессов, принимающих значение во всех точках вида и линейных в промежутках между этими точками; здесь при В частности, это используется для того, чтобы показать, что случайная величина, что демонстрирует следующий простой результат.

Лемма 7.1.1. Сохраняя прежние обозначения предположим, что и обозначим Тогда п. н. при и является случайной величиной.

Доказательство. Величина есть максимум конечного числа случайных величин и, следовательно, сама является с. в. при любом п. Из свойства п. н. непрерывности функции вытекает Значит, в силу полноты, есть с. в.

Мы будем использовать также обозначение для верхней грани процесса на любом заданном интервале Разумеется, аналогичным образом можно показать, что является случайной величиной.