Приложение. Некоторые основные понятия теории точечных процессов

Интуитивно под точечным процессом мы обычно понимаем последовательность событий, происходящих во времени (или в пространстве или и во времени и в пространстве) в соответствии с некоторым статистическим законом. Например, такими событиями могут быть радиоактивные распады или телефонные вызовы, возникающие во времени, или положения растений некоторого вида на поле (в пространстве двух измерений). Для нас особенно интересны ситуации, в которых событиями являются моменты превышений уровня и случайной последовательностью или моменты выходов за уровень и процесса с непрерывным параметром

Эти точечные процессы реализуются в одном измерении (которое можно при желании рассматривать как «время»). Мы можем совместно рассматривать превышения или выходы за более чем один уровень и получить точечный процесс на плоскости (см. гл. 5 и 9).

Теория точечных процессов может рассматриваться в совершенно абстрактном контексте, и это приводит к весьма содержательной общей теории. По этому вопросу мы отсылаем читателя к книгам Калленберга (1976) и Маттеса и др. (1978). Здесь мы только укажем основные понятия, касающиеся точечных процессов на вещественной прямой и на плоскости.

Если произвольный конечный интервал на вещественной прямой, то число событий точечного процесса, происходящих в этом интервале должно быть случайной величиной. Более общим образом, для любого ограниченного борелевского множества В число должно быть с. в. Далее, число событий в объединении конечной или счетной совокупности непересекающихся множеств равно сумме чисел событий в каждом из этих множеств, т. е. если непересекающиеся (борелевские) множества, объединением которых является В. Иначе говоря, мера на борелевских множествах. К тому же значение должно быть целочисленным, если оно конечно. Поэтому естественно напрашивается следующее формальное определение.

Точечный процесс в прямоугольнике это семейство неотрицательных целочисленных (или принимающих значение

случайных величин определенных для каждого борелевского множества и такое, что для каждого является мерой на борелевских множествах, принимающей конечные значения на ограниченных множествах.

В этом определении благодаря введению точечного процесса, определяемого на прямоугольниках может быть конечным или бесконечным, а также открытым или замкнутым на каждой из его границ), в дополнение к точечным процессам на всем пространстве достигается некоторая дополнительная полезная общность. Требование того, что борелевское множество В ограниченно, имеет в этом контексте вполне определенный смысл, означая, что диаметр множества В конечен и что замыкание множества В в содержится в Таким образом, например, если то всякое множество, имеющее конечный диаметр, ограниченно. В то же время если, скажем, то,

Рис. П.1. (см. скан) (а) точечный процесс превышений; (b) точечный процесс выходов.

например, множество имеет конечный диаметр, но не является ограниченным.

Заметим, что то же самое определение может быть использовано и для более общих топологических пространств, чем только тогда вместо борелевских множеств в надо использовать борелевские множества в этих более общих пространствах. Здесь же, как указывалось, мы будем рассматривать в основном только прямую и плоскость.

Если какая-нибудь случайная величина, то мы можем рассмотреть тривиальный точечный процесс, состоящий только лишь из одного события, наблюдаемого в точке, определяемой значением, которое принимает т. е. точечный процесс для которого если в противном случае. Таким образом, представляет единичную массу, сосредоточенную в случайным образом выбранной точке Более общим образом, если случайные величины (для или то мы можем определить точечный процесс предположении, что сумма нечна для ограниченных множеств В. Для этого точечного процесса события наступают случайных точках Продвигаясь несколько дальше, мы для удобства допустить возможность наступления кратных событий, рассматривая где — неотрицательные целочисленные с. в., а все различны,

В действительности можно показать, что для пространства с подходящей структурой (такого, как вещественная прямая или плоскость) всякий точечный процесс можно выразить через его атомы таким же образом, т. е. где -различные элементы этого пространства, а неотрицательные целочисленные случайные величины. В том случае, когда все равны единице, мы говорим, что точечный процесс не имеет кратных событий или что этот процесс является простым.

Если ограниченные борелевские множества, то являются случайными величинами и имеют совместное распределение, называемое конечномерным распределением точечного процесса. В действительности представляющие интерес вероятностные свойства точечного процесса однозначно определяются набором всех таких конечномерных распределений, т. е. набором таких распределений для всевозможных выборов значения и множеств Конечно, чтобы конечномерные распределения определяли точечный процесс, мы должны выбирать эти распределения соответствующим образом согласованными, так чтобы случайные величины были не только определены, но и неотрицательны, счетно аддитивны по В и т. д.

Интересующегося читателя мы отсылаем за подробностями к монографии Калленберга (1976).

Если точечный процесс, то мера К, определенная на борелевских множествах (рассматриваемого пространства) соотношением

называется мерой интенсивности этого точечного процесса. Заметим, что в отличие от самой величины величина может быть бесконечной, даже если множество В ограниченно (поскольку если какая-нибудь с. в. конечнозначна, то ее среднее не обязательно конечно).

Хотя нам это и не потребуется, все же интересно отметить, что вероятностные свойства точечного процесса могут быть также суммированы в виде различных производящих функционалов. По нашему мнению, наиболее естественным и полезным из них является преобразование Лапласа определяемое для неотрицательных измеримых функций соотношением

если представляется в виде Такие производящие функционалы имеют свойства и применения, аналогичные свойствам и применениям характеристических функций, производящих функций моментов и преобразований Лапласа случайных величин. В частности, если или соответственно тому, будет ли В или то мы имеем Это есть просто преобразование Лапласа (или производящая функция моментов, вычисленная в точке случайной величины и оно однозначно определяет распределение с. в. Подобным же образом можно описать совместные преобразования Лапласа для с. в. если взять

Вероятно, наиболее полезным как сам по себе, так и в качестве «строительного блока» для других типов точечных процессов является пуассоновский процесс. Его можно описать посредством меры интенсивности в качестве которой может быть взята любая мера, конечная на ограниченных множествах. Говорят, что точечный процесс Является пуассоновским процессом с такой интенсивностью, если для каждого (ограниченного) множества является пуассоновской с. в. со средним значением независимы для любого выбора и непересекающихся множеств Существование такого процесса легко показать для весьма общих ситуаций,

хотя мы здесь этого и не делаем. Кроме того, такой процесс имеет преобразование Лапласа

и этот процесс является простым, если его мера интенсивности к абсолютно непрерывна.

Легко проверить, что выбор дает преобразование Лапласа пуассоновской случайной величины со средним к В связи с этим этот процесс можно назвать «общим пуассоновским процессом». Обычный (стационарный) пуассоновский процесс на вещественной прямой возникает, когда к отличается лишь постоянным множителем от меры Лебега т. е. к В этом случае мы говорим, что пуассоновский процесс имеет интенсивность

Как указывалось выше, пуассоновский процесс может быть использован в качестве исходного элемента для построения других точечных процессов. В частности, наиболее полезный случай возникает, если допустить стохастичность самой меры k. Такой точечный процесс уже не будет пуассоновским, но его удобно понимать как «пуассоновский процесс со (стохастически) изменяющейся интенсивностью». Мы ссылаемся на такой процесс как на дважды стохастический пуассоновский процесс или, как более принято, процесс Кокса. Конкретное использование таких процессов было проведено в гл. 6, где соответствующее распределение было выписано в явном виде.

Еще одно полезное для нас понятие — это прореживание точечного процесса и, в частности, пуассоновского процесса. Под прореживанием понимается удаление некоторых событий точечного процесса при помощи какого-то (обычно) вероятностного механизма, который может быть и довольно сложным. В его простейшей форме, с которой мы и будем иметь здесь дело, каждое событие удаляется или сохраняется независимым образом с вероятностями, скажем Например, если пуассоновский процесс с мерой интенсивности точечный процесс, получаемый из таким независимым прореживанием, то для произвольного борелевского множества В мы имеем

поскольку при условии, что имеет биномиальное распределение с параметрами Это выражение простым образом редуцируется к

так что пуассоновская с. в. со средним Подобным же образом можно убедиться в том, что с. в. независимы всякий раз, когда попарно не пересекаются, так что очевидно, является пуассоновским процессом с мерой интенсивности интуитивно привлекательный результат, используемый, например, в гл. 5.

В теории точечных процессов имеется целый ряд структурных свойств, таких, как существование, единственность, простота, безграничная делимость и т. д., которые не укладываются в наше изложение. Будет, однако, интересно упомянуть о сходимости последовательности точечных процессов и сформулировать в этой связи одну полезную теорему.

Предположим, что последовательность точечных процессов на прямоугольнике и что некоторый точечный процесс. Тогда мы говорим, что сходится по распределению к (и записываем это в виде если последовательность векторных случайных величин сходится по распределению к для каждого выбора и всех таких ограниченных борелевских множеств для которых (Здесь обозначает границу множества В.)

Точечный процесс можно рассматривать как случайный элемент некоторого метрического пространства (точками которого являются меры), и сходимость по распределению становится тогда слабой сходимостью распределений процессов к распределению процесса Здесь мы не нуждаемся в такой общей точке зрения, поскольку приведенное выше определение равносильно ей. Тем не менее в конце этого приложения мы сделаем еще несколько замечаний относительно этого общего подхода и приведем примеры того, как можно упрощать доказательства, имея в распоряжении результаты этой общей теории.

Наиболее полезным для нас результатом является следующее простое достаточное условие сходимости по распределению. Это частный случай теоремы Калленберга (1976), формулируемый здесь для полузамкнутых (конечных или бесконечных) интервалов и прямоугольников. Очевидные модификации применимы к другим типам множеств

Теорема Пусть точечные процессы на полузамкнутом интервале вещественной прямой, причем процесс является простым. Предположим, что

(a) для всех таких, что и

(b) для всех В, имеющих вид

Тогда

(ii) То же самое верно для точечных процессов на полузамкнутых прямоугольниках на плоскости, если полузамкнутые интервалы заменить полузамкнутыми прямоугольниками

Замечательной особенностью этого результата является то, что сходимость вероятности непоявления ни одного события в определенных заданных множествах по существу достаточна для того, чтобы гарантировать сходимость величин, подобных и соответствующих совместных вероятностей. Простые условия (а) и (b) часто легко проверяемы.

Следующее полезное утверждение является основным этапом в доказательстве Калленбергом теоремы (Идея этого доказательства состоит в том, что условие (а) обеспечивает существование для каждой последовательности целых чисел такой ее подпоследовательности, что сходится по этой подпоследовательности к некоторому простому точечному процессу. Утверждение и условие (b) теоремы показывают тогда, что этот предел имеет то же самое распределение, что и что и завершает доказательство.)

Утверждение Предположим, что простые точечные процессы на полузамкнутом интервале вещественной прямой и что для всех множесте В вида для Тогда имеют одно и то же распределение.

Наш следующий результат связан со сходимостью последовательности точечных процессов на плоскости к пуассоновскому процессу на плоскости и показывает, как это свойство сохраняется при подходящих преобразованиях точек каждого члена последовательности и ее предела. Этот результат можно, очевидно, переформулировать и в гораздо большей общности, однако для наших применений достаточно и приводимой здесь формы.

Теорема П.3. Пусть точечные процессы на полузамкнутом прямоугольнике на плоскости, причем простой процесс, и строго убывающая непрерывная вещественная функция. Определим новые точечные процессы так, что если имеет атом в то

имеет атом в где функция, обратная для Если то

Если пуассоновский процесс, имеющий меру интенсивности X, то пуассоновский процесс, имеющий меру интенсивности где обозначает преобразование плоскости, задаваемое соотношением Если X — мера Лебега на плоскости, то мера интенсивности является произведением меры Лебега на прямой и меры, определяемой монотонной функцией

Доказательство, (i) Легко проверить, что для любого прямоугольника

и поэтому (в силу единственности продолжений мер) для всех борелевских множеств В. Это выполняется также и при замене на

Предположим теперь, что В — такое борелевское множество, что (здесь опять обозначает границу множества В). Тогда можно заметить (используя непрерывность функции что так что Поскольку имеем или Простым обобщением этого результата показывается, что всякий раз, когда для каждого следовательно, как и требовалось.

(ii) Если пуассоновский процесс, имеющий меру интенсивности любое борелевское множество в 5, то

для каждого так что пуассоновская с. в. со средним Независимость случайных величин для непересекающихся вытекает из того факта, что множества также не пересекаются, и поэтому случайные величины независимы.

Последнее утверждение в (ii) вытекает просто из того, что если X — мера Лебега, то

с учетом непрерывности функции

Как было обещано, мы приведем несколько замечаний (без доказательств) относительно общего подхода к точечным

процессам. Читателя следует, вероятно, предупредить о том, что предполагается некоторое знакомство со слабой сходимостью вероятностных мер на метрических пространствах, которое не требуется в других частях этой книги.

Пусть, как и прежде, является прямоугольником в и обозначает множество таких положительных целочисленных мер на которые конечны на ограниченных множествах. Говорят, что последовательность -сходится к мере (обозначается это как если для всех таких функций которые непрерывны и равны нулю вне некоторого ограниченного множества. Понятие -сходимости особенно прозрачно, когда мера проста. В этом можно убедиться из следующего легко доказываемого утверждения.

Утверждение Предположим, что мера проста и имеет атомы в несовпадающих точках т. е.

Тогда в том и только в том случае, когда существуют такие ограниченные прямоугольники что если атомы меры содержащиеся в то для больших значений мера имеет ровно I атомов и их можно упорядочить таким образом, что при

Заметим, что -сходимость индуцирует некоторую топологию на и мы будем обозначать -алгебру, порождаемую открытыми множествами этой топологии, буквой Пространство является польским пространством, т. е. на существует некоторая метрика, порождающая топологию пространства и делающая пространство полным. Точечный процесс можно определить как случайный элемент в и сходимость по распределению точечных процессов есть просто обычная сходимость случайных элементов в метрическом пространстве, изложенная, например, в монографии Биллингсли (1968). Поэтому по определению если для всех непрерывных ограниченных функций Как уже указывалось, можно показать, что это определение сходимости равносильно более элементарному определению, приведенному выше.

Важным результатом при этом является то, что сходимость влечет за собой сходимость по распределению широкого класса функций от Пусть произвольная функция, отображающая в некоторое метрическое пространство (например, в качестве может выступать и само и пусть

множество точек разрыва этой функции, если существует такая последовательность что но Тогда еслн этом случае говорят, что функция -непрерывна) и то

Этот факт можно использовать, чтобы дать иное простое доказательство теоремы П.3. Действительно, пусть мера простая и мера такова, что если имеет атом в то имеет атом в Тогда из утверждения П.4 немедленно вытекает, что функция непрерывна и, следовательно, выполняется теоремы П.3. Другой пример, демонстрирующий пользу общей теории, приводится в связи с моментами рекордов в разд. 5.8.

В качестве заключительного замечания отметим, что понятие точечного процесса можно обобщить, включая в рассмотрение меры для которых не обязательно принимает только целые значения. Это обобщение ведет к естественному помещению точечных процессов в рамки теории случайных мер точки зрения, детально разработанной Калленбергом (1976).

Литература

(см. скан)

(см. скан)