3.8. Максимумы скользящих средних устойчивых величин

В этом разделе мы рассмотрим экстремальные значения н. о. р. устойчивых (или «устойчивых относительно суммирования» в противоположность устойчивым относительно максимума) случайных величин, имеющих характеристическую функцию вида (3.8.1), указанного ниже, а также экстремальные значения зависимых последовательностей, получаемых из таких с. в. простым путем: с помощью скользящего суммирования. Это дает простую в идейном плане иллюстрацию одного из способов влияния зависимости на поведение экстремумов, а также снабдит нас примерами процессов, имеющих экстремальный индекс для любого

Ввиду того что не являющиеся нормальными устойчивые распределения имеют тяжелые хвосты, причиной, порождающей экстремальные значения, являются в этом случае отдельные большие слагаемые, каждое из которых создает малую группу экстремумов в процессе скользящего среднего. Это объясняет, почему условие не выполняется и возможны значения экстремального индекса, меньшие единицы. В противоположность этому, можно увидеть, что экстремальные значения скользящих средних нормальных последовательностей вызываются редкими сочетаниями умеренно больших слагаемых и что этого достаточно, чтобы выполнялось и экстремальный индекс был равен единице.

Стационарные нормальные последовательности снабжают нас, разумеется, наиболее важными примерами последовательностей, которые не являются независимыми. Как уже упоминалось, они изучаются в достаточной общности в гл. 4 и затем в гл. 6. Тем не менее устойчивые последовательности представляют и самостоятельный интерес. В частности, они имеют такую же линейную структуру, как и нормальные процессы; произвольные линейные комбинации устойчивых величин устойчивы. Для читателя, знакомого с этими понятиями, можно также упомянуть, что ARMA-процессы с устойчивыми обновлениями являются частным случаем устойчивых скользящих средних, что легко увидеть, обращая авторегрессионную часть ARMA-процесса.

По определению случайная величина (строго) устойчива если она имеет характеристическую функцию

с для Здесь параметр масштаба, а называется показателем устойчивого распределения, параметром симметрии. Если то распределение симметрично, в то время как при распределение называется вполне асимметричным. Для значений а вполне асимметричные устойчивые распределения сосредоточены на положительной полуоси, если и на отрицательной полуоси, если

При распределение очевидно является нормальным, и поэтому в настоящем разделе мы рассматриваем случай Если то — характеристическая функция распределения Коши, имеющего плотность

и изучавшегося выше в примере 1.7.8. При распределение имеет плотность

для Однако, кроме этих случаев, не известно других простых выражений для плотностей устойчивых распределений.

Мы выведем теперь предельные распределения для максимума процесса скользящего среднего определяемого соотношением

в котором случайные величины независимы и устойчивы а постоянные предполагаются удовлетворяющими условию

Из (3.8.1) следует, что сходится по распределению тогда и только тогда, когда выполняется (3.8.2). Более того, поскольку слагаемые независимы, сходимость указанной суммы

по распределению влечет за собой сходимость почти всюду, и поэтому условие (3.8.2) необходимо и достаточно для того, чтобы была определена как п. н. сходящаяся сумма. Единственное, что нам понадобится еще от устойчивых распределений в дополнение к (3.8.1), это следующие оценки хвостов функции устойчивого распределения. Пусть Тогда (см. Бергстрем (1953))

и для некоторых подходящих постоянных

Для полноты мы сформулируем без доказательства используемый ниже следующий элементарный результат о сходимости распределений.

Лемма 3.8.1. Пусть случайные величины, некоторая функция распределения. Предположим, что для произвольного

и что для всех больших

Тогда

Пусть

где и пусть

Основная идея вывода предельного распределения для состоит в том, что большое значение вызывается только одним большим слагаемым среди В частном случае, когда случайные величины вполне асимметричны с это означает, что и имеют асимптотически одну и ту же величину. Последнее доказывается в следующей лемме для конечных скользящих средних наряду с некоторыми полезными в дальнейшем оценками. Лемма 3.8.2. Пусть с. в. устойчивы и пусть

(i) Тогда для при

Если к тому же где таково, что то

(ii) тогда для

и

Доказательство, (i) Предположим сначала, что Тогда из (3.8.1) следует, что разность устойчива с некоторым (вообще говоря, другим) параметром симметрии, масштабным параметром и показателем а. Отсюда, согласно (3.8.4),

и поэтому в силу стационарности

Правая часть стремится к нулю при следовательно, (i) выполняется, если Если то устойчива разность

с параметром масштаба и показателем 1. Поэтому для больших значений

в силу (3.8.4). Далее таким же образом, как и выше, убеждаемся в справедливости (i) и для

(ii) Положим и определим события

Мы покажем, что

и что

Если не наблюдаются ни ни то для и наибольшее из не превосходит а остальные не больше, чем и тогда

Аналогично если не подаются ни ни то для и поэтому

Таким образом, при выполнении

т. е.

Предположим теперь, что таковы, что Если не наблюдается событие то

Далее, на имеет место

поскольку если то при выполнении все меньше, чем а если, наоборот, то это выполняется тривиально на Таким образом,

на и если к тому же

Однако если, наоборот, или и не наблюдаются ни ни то Для и тогда Отсюда следует, что

так что (3.8.7) выполняется на и в этом случае. В совокупности соотношения (3.8.6) и (3.8.7) доказывают (3.8.5). Далее, ввиду независимости с. в.

поскольку в силу первой части (3.8.3) и определения В то же время, согласно второй части (3.8.3),

и, наконец,

поскольку Поэтому в соответствии с (3.8.5)

(iii) Согласно (3.8.3),

и поэтому теорема 1.5.1 показывает, что

так что (iii) вытекает теперь из (ii) и леммы 3.8.1.

В последней части леммы мы получили предельное распределение для случая, когда и скользящее среднее конечно. Как мы сейчас увидим, отсюда легко получается и общий результат.

Теорема 3.8.3. Предположим, что скользящее среднее устойчивых случайных величин и числовая последовательность удовлетворяет условию (3.8.2). Тогда

Доказательство. Согласно леммам 3.8.1 и 3.8.2, достаточно показать, что

для больших Предположим, что в. независимы и устойчивы ( Тогда из (3.8.1) сразу вытекает, что разность устойчива и поэтому в обозначениях

последовательности и имеют одно и то же распределение. Следовательно, (3.8.9) равносильно соотношению

Обозначим Если где удовлетворяет соотношениям то, поскольку и независимы,

в силу леммы Кроме того, можно показать, что для

Ясно, что

поскольку в силу (3.8.4) и, далее,

согласно (3.8.11). Поэтому из (3.8.12) вытекает, что

В силу леммы 3.8.1 и (3.8.11) это приводит к (3.8.10), и поэтому (3.8.9) выполняется для всех больших к, что и доказывает теорему для

Если то при тех же что и выше, при случайная величина

устойчива Чтобы учесть влияние дополнительного постоянного слагаемого, требуются тривиальные изменения приведенного выше доказательства того же рода, что и при доказательстве леммы Поэтому мы опускаем эти детали.

Мы отсылаем читателя к работе Ротсена (1978), где можно найти дальнейшие результаты относительно поведения экстремумов включая аналоги сходимости точечных процессов, доказываемой в гл. 5 для процессов с экстремальным индексом единица. Там же дана весьма подробная информация о поведении выборочных функций вблизи экстремумов, а также соответствующие результаты для процессов с непрерывным параметром. Далее, можно отметить, что по существу именно поведение хвостов с. в. определяет поведение экстремумов последовательности и

что аналогичные результаты справедливы и при других распределениях с. в. принадлежащих области притяжения -устойчивого распределения типа II.

Наконец, согласно (3.8.1), если то устойчива и поэтому если максимальный член сопровождающего независимого процесса, то

по теореме 3.8.3 . Сравнение с пределом для показывает, что имеет экстремальный индекс

который, очевидно, может принимать любое значение в интервале