4.4. Условия ... для нормальных последовательностей
В этом разделе мы используем условие на ковариации (4.1.1) при выводе условий 
для стационарных нормальных последовательностей. При этом результаты об экстремумах, полученные в разд. 4.3, будут сразу вытекать из общей теории гл. 3. Кроме того, хотя было бы вполне естественно привести для нормальных последовательностей простой специфический для них вывод результатов об экстремумах, все же будет более удобно получать последующие результаты для нормального случая как частные случаи общей теории. И это будет опять основываться на ограничивающих зависимость условиях 
В последующем обсуждении без специальных оговорок будут использованы обозначения, введенные выше для (стандартизованного) стационарного нормального процесса.
Лемма 4.4.1. Пусть 
числовая последовательность.
(i) Если 
и выполняется (4.3.1), то выполняется и 
(ii) Если, кроме того, ограниченно 
то выполняется 
(iii) Если 
ограниченно, то выполняются оба условия 
Доказательство. Как вытекает из следствия 4.2.4 (неравенство (4.2.10)), если 
то совместная 
случайных величин 
удовлетворяет неравенству
Предположим теперь, что 
Отождествляя 
поочередно с 
получаем неравенство
правая часть которого стремится к нулю в силу (4.3.1). Таким образом, условие 
выполняется. (В действительности 
для каждого 
Это доказывает утверждение (i).
Чтобы доказать (ii), положим 
в (4.2.9) и получим
Отсюда путем простых преобразований 
и — стандартные нормальные величины) находим
Таким образом, если 
то
откуда, в силу (4.3.1), следует 
так что утверждение (ii) верно.
Наконец, если 
ограниченно, то лемма 4.3.2 показывает, что (4.3.1) выполняется, так что выполнены оба условия (i) и (ii) теоремы и следовательно, выполняются и 
и 
Теперь можно видеть, что основные результаты для нормальных последовательностей, приведенные в теореме 4.3.3, просто вытекают из общей теории гл. 3. Часть (i) теоремы 4.3.3 при 
сразу вытекает из теоремы 3.4.1 и леммы 
Случай 
сразу вытекает из следствия 3.4.2, поскольку если определить 
соотношением 
то 
выполняются снова согласно лемме 4.4.1 (iii). Наконец, часть (ii) теоремы 4.3 немедленно следует из теоремы 3.5.2 и леммы 4.4.1 (iii). (Выполнение требования леммы 4.4.1 (iii) об ограниченности 
с 
очевидно из выкладок, например теоремы 1.5.3, или может быть легко проверено путем непосредственного рассмотрения членов разложения 
