5.5. Превышения множества уровней

Превышения уровней процессом (здесь, как и ранее, естественно рассматривать как вектор из точечных процессов. Хотя этого можно достигнуть и чисто абстрактным путем, мы с целью призвать на помощь интуицию представим превышения наблюдающимися вдоль фиксированных

горизонтальных прямых на плоскости. При этом превышения уровня представляются точками на Такое представление выявляет определенную структуру, определяемую тем фактом, что превышение уровня автоматически является и превышением уровней как наглядно показывает рис. 5.5.1. На рис. 5.5.1, а изображены уровни и значения процесса по которым можно найти превышения уровней, а на рис. 5.5.1, b отмечены точки превышений каждого уровня вдоль фиксированных прямых

Чтобы проследовать в этом направлении чуть дальше, на диаграмме (b) превышения всех указанных уровней представлены точками на плоскости. Иначе говоря, мы можем рассматривать их, если пожелаем, как точечный процесс на плоскости. Конечно, все эти точки лежат только на определенных горизонтальных прямых, и если какая-то точка лежит на то непосредственно под ней расположены точки и на всех других, более низких прямых, но

Рис. 5.5.1. (а) Уровни и значения (b) Представление на плоскости (для фиксированных

в то же время позиции этих точек случайны и определяют некоторый двумерный точечный процесс, который мы обозначаем

Мы можем применить к этой последовательности точечных процессов теорию сходимости и в качестве следствия получить результаты относительно совместных распределений. Расположение прямых не имеет значения, лишь бы они были фиксированы и располагались в указанном порядке. В соответствии с нашей предыдущей теорией каждый одномерный точечный процесс на заданной прямой назовем его при надлежащих условиях становится пуассоновским. Указанный двумерный процесс, как интуитивно ясно, не будет пуассоновским процессом на плоскости в силу описанной выше структуры. Однако при уменьшении превышения на образуют все более «сильно прореженные» версии процесса Конечно, они получаются не путем независимого удаления событий. Это возможно, как станет ясно позднее, только в пределе, где пуассоновский процесс на может быть получен из процесса на путем независимого прореживания.

Более строго, мы определим точечный процесс на плоскости, который окажется подходящим предельным точечным процессом, следующим образом.

Пусть точки пуассоновского процесса на имеющего параметр Пусть независимые случайные величины, не зависящие также от пуассоновского процесса принимающие значения с вероятностями

Для каждого поместим точки на — 1 прямых по вертикали над точкой завершая тем самым построение процесса Ясно, что вероятность появления точки на над в точности равна а вычеркивания точек независимы, так что получается независимым прореживанием пуассоновского процесса Поэтому является пуассоновским процессом (см. приложение), имеющим интенсивность как и ожидалось. Аналогично получается независимым прореживанием процесса с вероятностью вычеркивания и все процессы являются пуассоновскими.

Мы можем привести теперь основной результат.

Теорема 5.5.1. (i) Предположим, что выполнено условие и что для условие выполняется с удовлетворяющими (5.4.1). Тогда точечный процесс превышений уровней

(представляемый, как и выше, на прямых сходится по распределению к предельному точечному процессу в смысле сходимости точечных процессов на Если к тому же для удовлетворяет условию условие выполняется для при всех выполняется для всех то тогда сходится к как точечные процессы на всей правой полуплоскости, т. е. на

Доказательство. Согласно теореме достаточно показать, что для всех множеств В вида где или соответственно, для всех множеств В, являющихся конечными объединениями непересекающихся множеств указанного вида.

Утверждение (а) получается просто. Если множество пересекает какие-то из прямых, то пусть это будут Тогда и число точек вида в интервале равно так что

что, очевидно, в точности равно

Чтобы показать нам надо доказать, что для множеств В вида с непересекающимися Ясно, что мы можем отбросить любое множество которое не пересекает ни одну из прямых Рассматривая пересечения и разности интервалов мы можем изменить их и представить множество В в виде где непересекающиеся интервалы, конечное объединение полуоткрытых интервалов. Поэтому

где Если самой низкой прямой, пересекающей является то в силу свойства прореживания

Но это в точности событие так что части (i) и (ii) следствия 5.4.3 дают соответственно

поскольку, очевидно, (5.5.1) и (5.5.2) также выполняются с заменой на откуда и вытекает искомый результат.

Следствие 5.5.2. Пусть удовлетворяет условиям частей (i) или (ii) теоремы 5.5.1, и пусть борелевские подмножества единичного интервала или положительной полуоси соответственно, границы которых имеют нулевую меру Лебега. Тогда для целых чисел

Доказательство. Пусть какой-нибудь прямоугольник на плоскости, имеющий основание и такой, что прямая пересекает его внутренность, а другие его не задевают. Тогда левую часть (5.5.3) можно записать в виде

Эта вероятность, согласно приложению, сходится к вероятности того же вида, в которой только процесс заменен на т. е. к правой части (5.5.3).