15.5. Локальные экстремумы. Приложение к случайным волнам

В этом последнем разделе мы обсудим некоторые применения теории экстремальных значений для непрерывного времени, относящиеся к поведению процесса как последовательности

случайных волн, и особенно как последовательности локальных максимумов и минимумов.

Пусть непрерывно дифференцируемый нормальный процесс, два раза дифференцируемый в среднем квадратичном, имеющий локальные максимумы в точках где, как и в разд. (случайное) число локальных максимумов в интервале Далее, пусть положения локальных минимумов, занумерованные таким образом, что Например, если понимать как процесс, описывающий высоту уровня моря над средним уровнем в конкретной точке в момент то естественно назвать последовательностью характеристик случайной волны. Значения являются наблюдаемыми амплитудами, а разности высот наблюдаемыми высотами волн. Экстремальные значения с. в. важны во многих областях, и науки о море дают один такой выпуклый пример.

Иногда бывает легче получить надежные измерения длин волн и их амплитуд, нежели проводить непрерывные измерения самого процесса Поскольку

что равно если не достигается в нуле или в то можно тем не менее и в этом случае использовать результаты об экстремумах для непрерывного случая, чтобы получить асимптотическое распределение максимума с. в.

Мы продолжим рассмотрение для стационарного нормального процесса с и произвольной дисперсией Это требует лишь некоторых очевидных изменений в предыдущих стандартизованных формулах, поскольку процесс удовлетворяет соотношениям Если, как и в разд. обозначает число таких локальных максимумов в для которых то в силу (7.6.3) с

Поскольку суммарное ожидаемое число максимумов равно отношение можно рассматривать как меру вероятности того, что локальный максимум превышает и, и мы определим функцию соотношением

Очевидно, что не убывает, непрерывна и (или 1) при и так что является функцией распределения. Для соответствующей плотности имеем

Если процесс эргодический, то с вероятностью единица (см. разд. 10.2), так что в этом случае является пределом эмпирических распределений наблюдаемых амплитуд. Форма этого распределения зависит только от так называемого параметра ширины спектра обозначения , близкие к нулю, дают узкополосный спектр с одной доминирующей частотой, в то время как значения близкие к I, дают широкополосный спектр.

Пример 15.5.1. Наблюдаемые амплитуды уровня моря измерялись плавучим буем на некотором удалении от острова Саут Уист, входящего в состав Гебридских островов. На протяжении нескольких штормов регистрировались эмпирические распределения локальных максимумов и локальных минимумов волн и оценивались параметры спектра. На рис. показан результат одной такой записи с умеренной шириной спектра. Рисунки показывают в виде гистограмм распределения уровня моря фиксируемого дважды в течение секунды, высоты локальных максимумов и локальных минимумов Показана также функция плотности (и соответствующая функция для минимума), построенная на базе теории для нормального процесса, значение в которой оценено по данным наблюдений величиной Длительность наблюдения составляла мин.

Как видно, текущий уровень моря в этом примере вполне похож на нормальный, и поразительно, сколь хорошо теоретические плотности описывают наблюдаемые амплитуды, несмотря на то что они подгонялись только посредством косвенного оценивания спектральных моментов

Наблюдаемая длина волны часто изучается в океанографических исследованиях. Тем не менее для ее плотности явное выражение еще не найдено. Некоторые простые, но для многих процессов надежные, аппроксимации приведены в работах Линдгрена и Рыхлика (1982), а также Каванье и др. (1976).

В океанографии суровость волнения морей часто описывается посредством эффективной длины волны или эффективной амплитуды. Пусть значение таково, что

так что одна треть амплитуд превосходит Определим

как среднее трети наиболее высоких волн. Тогда называется эффективной амплитудой. Эффективная высота волны Я» определяется аналогично, и часто предполагается, что Эта аппроксимация кажется удовлетворительной, если мало, т. е. так что между каждыми двумя последовательными выходами за нулевой уровень имеется только один локальный максимум. Кроме того, для малых значений

Если задана какая-нибудь значимая амплитуда, то можно задаться вопросом о том, с какой максимальной амплитудой вероятна встреча в течение периода времени Поскольку, как отмечалось выше, то за исключением случая, когда достигается в или в эту задачу можно решить, в рамках настоящей теории.

Пусть стандартизованные нормализующие константы, задаваемые формулой (15.4.4), опять с произвольной дисперсией

Тогда по теореме 8.2.7

так что

где случайная величина. Таким образаяг, вснг что нам необходимо, так это оценки для и или, что равносильно, для эффективного среднего периода (Для малых значений значение в соответствии с (15.5.1) можно оценить величиной

Пример 15.5.2. Наибольшая встречающаяся амплитуда, а также оцененная дисперсия и средний период регистрировались в течение -минутных периодов восемь раз в день в зимние

(кликните для просмотра скана)

Рис. 15.5.1(c). Высота локального минимума; оцененное значение параметра ширины спектра

месяцы января—марта 1973 г. на плавучем маяке Семь Камней между полуостровом Корнуолл и островами Силли.

В результате было получено всего наблюдений,

где максимальные амплитуды волн в отдельные интервалы времени длительности мин. Взятые по всему трехмесячному периоду значения значительно изменяются, как видно из рис. 15.5.2 (а) и (b).

На рис. 15.5.3 на двойной экспоненциальной вероятностной бумаге вычерчены амплитуды с

Такой выбор нормализующих констант подходит, если являются наблюдениями максимальных амплитуд волн (нестационарного) нормального процесса, корреляционная структура которого изменяется столь медленно, что ее можно рассматривать как стационарную на каждом отдельном интервале.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 15.5.3. (см. скан) Эмпирическая ф. р. стандартизованного наблюдаемого максимума на двенадцатиминутном интервале по данным за январь — март, нанесенная на двойной экспоненциальной вероятностной бумаге.

Теоретической (асимптотической при этих стандартизованных величин является и на рис. 15.5.3 эта ф. р. представлена прямой пунктирной линией. Как видно из рис. 15.5.3, имеется значительная разница между наблюдаемой и теоретической ф. р. стандартизованных максимумов волн. Возможно, что для этого имеются и какие-то физические причины (такие, как опрокидывание волны), однако существуют также два возможных статистических объяснения. Интервал наблюдения мин может быть слишком коротким для того, чтобы работала асимптотическая теория, и возможны долговременные эффекты, сдвигающие значения вверх и вниз с небольшой скоростью. Чтобы обнаружить это явление, мы вычертили на рис. 15.5.4 весь ряд нормализованных величин. Как можно заметить по этому рисунку, такое медленное изменение как будто имеется, и это могло бы быть основной причиной отклонения, обнаруженного на рис. 15.5.3.

Рис. 15.5.4. (см. скан) График изменения во времени стандартизованного максимума на двенадцатиминутном интервале.

Данные, сопровождающие примеры 15.5.1 и 15.5.2, стали доступными благодаря любезности П. Чолленора из Института океанографии, Уормли, Англия.