9.5. Высота и положение локальных максимумов

Одно из следствий из теоремы 9.4.3 состоит в том, что асимптотически глобальный максимум достигается во внутренности и поэтому он является и локальным максимумом. Для достаточно регулярных процессов можно рассматривать также и меньшие, но все еще высокие локальные максимумы, которые отделены от

Мы обратим сначала внимание на непрерывно дифференцируемые нормальные процессы, которые два раза дифференцируемы в среднем квадратичном.

По аналогии с изложением в гл. 5 рассмотрим точечный процесс на плоскости, образованный надлежащим образом преобразованными локальными максимумами процесса (Заметим, что, поскольку процесс непрерывен, реализация процесса также непрерывна и, хотя числа ее попаданий в любой ограниченный прямоугольник приближенно носят пуассоновский характер, они конечно, не являются точками.)

Предположим, что процесс имеет в точках локальные максимумы с высотами Пусть нормирующие константы, определяемые соотношениями (8.2.6), и определим точечный процесс на плоскости, помещая его точки в Вспомним, что в соответствии с разд. 9.1 асимптотически выходы процесса за фиксированный уровень х образуют пуассоновский процесс с интенсивностью если время нормировано к и что выход за уровень х сопровождается выходом за более высокий уровень у с вероятностью

При исследовании пуассоновского характера высоких максимумов определенный интерес представляет вопрос о том, до какой степени выходы за высокий уровень и высокие локальные максимумы могут заменять друг друга. Ясно, что между выходом за определенный уровень и и следующим за ним входом под этот уровень должен иметься по крайней мере один локальный максимум, т. е., не вполне точно говоря, существует по крайней мере столько же высоких максимумов, сколько имеется высоких выходов. Как мы сейчас увидим, с высокой вероятностью высоких максимумов будет не больше. В действительности это верно, даже

если таким образом, что сходится.

Напомним сначала обозначения из разд. 7.6:

Лемма 9.5.1. Если (и 12), то

при и где число выходов за и на Доказательство. Заметим сначала, что хотя бы одно из событий

обязательно осуществляется и в последнем случае Поэтому

и поскольку то (ii) является непосредственным следствием (i). Но задается соотношением (7.6.3), и, поскольку при отсюда следует, что для некоторой постоянной

в то время как

при и что и доказывает (i).

Теорема 9.5.2. Предположим, что стандартизованный стационарный нормальный процесс имеет непрерывно дифференцируемые выборочные функции, он дважды дифференцируем в среднем квадратичном (т. е. и что при Тогда точечный процесс нормированных локальных максимумов сходится по распределению к пуассоновскому процессу на интенсивность которого равна произведению меры Лебега и меры, определяемой возрастающей функцией

Доказательство. В силу уже известных нам аргументов, следующих из теоремы достаточно показать, что

(a) для любого множества В вида и

(b) для множеств В, являющихся конечными объединениями множеств такого вида.

Для доказательства (а) мы используем лемму Тогда, обозначая имеем

поскольку для

Часть (b) является следствием леммы 9.5.1 (ii) и теоремы 9.3.2 о выходах за несколько уровней. Пусть как и ранее, обозначает число выходов за уровень и в интервале Запишем множество В Евиде где непересекающиеся множества и каждое является объединением непересекающихся интервалов. Предположим сначала, что имеется только одно множество Е},т. е. где и пусть Согласно лемме 9.5.1 (ii), асимптотически каждый выход за высокий уровень и сопровождается одним (и не более) локальным максимумом, расположенным над этим уровнем, и поэтому

По теореме 9.3.2 с

Несколько обобщая это доказательство, получаем

Таким образом утверждение (b) доказано для множеств простого вида Доказательство утверждения (b) в общем случае сложнее только в части обозначений.

Предельный пуассоновский процесс в теореме 9.5.2 имеет в точности то же самое распределение, как и в теореме 5.7.2 для нормального процесса поскольку в этом случае Это означает, что все выводы, которые можно извлечь из теоремы об асимптотических свойствах нормированного точечного процесса переносятся также и на нормированный точечный процесс локальных максимумов

В качестве примера мы используем теорему 9.5.2 для получения совместного распределения положения и высот двух наибольших локальных максимумов процесса Пусть наибольший, а второй по высоте локальный максимум, их положения.

Теорема 9.5.3. Предположим, что удовлетворяет предположениям теоремы 9.5.2. Тогда

при

Доказательство. Асимптотическое распределение высот двух наибольших локальных максимумов

вытекает таким же образом, как и соотношение (5.6.4) в теореме 5.6.2, из сделанного выше наблюдения, что предельный точечный процесс нормированных локальных максимумов является тем же самым, что и предельный процесс для нормированной последовательности независимых нормальных с. в.

Положение локальных максимумов может быть получено таким же путем. Предположим, например, что и пусть обозначают соответственно интервалы Вводя обозначения событие в (9.5.1) можно выразить через наибольший и второй наибольший локальные максимумы на интервалах следующим образом (в очевидных обозначениях):

Предел вероятности этого события, выраженный в терминах точечного процесса локальных максимумов, такой же, как и для точечного процесса нормированных независимых с. в. Для такого процесса с. в. очевидно, независимы и равномерно распределены в интервале а также не зависят от высот этих максимумов, что и доказывает теорему.