13.2. Сходимость вероятностей ...

Теорема об экстремальных типах связана с рассмотрением вероятности

которая может быть переписана в виде Мы переходим теперь к вопросу о сходимости вероятностей при для семейств не обязательно являющихся линейными функциями параметра х. (Это аналогично, конечно, сходимости вероятностей для последовательностей.) Такие результаты интересны и сами по себе, но также и потому, что они делают возможным просто модифицировать классические критерии для областей притяжения к трем предельным распределениям, чтобы применить их в случае непрерывного параметра.

Наша основная цель — продемонстрировать равносильность условий при соответствующих ограничениях. Следующее условие, на которое мы будем ссылаться как на аналогично условию определенному в гл. 3 для последовательностей.

Будем говорить, что для процесса и семейства констант выполняется условие относительно констант если при для некоторого

Следующая лемма будет полезной для доказательства желаемой равносильности.

Лемма 13.2.1. Предположим, что для некоторой функции выполняется (13.1.9), и пусть такое семейство уровней, что выполняется относительно семейств удовлетворяющих (13.1.10), для каждого причем в условии не превосходит в (13.1.9). Тогда величина ограниченна, и если целые, то

для любой последовательности для которой ].

Доказательство. Мы используем дополнительное предположение

и докажем, что при этом предположении ограниченно и справедливо (13.2.1). После этого легко проверить (например, путем замены в доказательстве на что полученный результат справедлив и без этого дополнительного предположения.

Итак, обозначим для любого интервала Мы покажем сначала, что (в предположении, что выполнено

при Выражение в (13.2.3), очевидно, неотрицательно и, в силу стационарности и того факта, что не превосходит

Согласно лемме первый из этих верхних пределов не превосходит где при

Выражение во втором верхнем пределе можно записать в виде

в силу леммы 13.1.3 (iv) и некоторых очевидных оценок, использующих стационарность. Ввиду условия используя (13.2.2), легко показать, что верхний предел (по последней составляющей есть величина порядка для каждого и (13.2.3) получается объединением этих фактов.

Далее, в силу (13.2.3) и (13.1.9)

и поэтому Таким образом, ограничено для любой последовательности для которой откуда легко вытекает, что ограниченно. Наконец, (13.2.1) следует теперь непосредственно из (13.2.3).

Следствие 13.2.2. В условиях леммы, если

Доказательство. Если заметить, что ограниченно, то в силу (13.1.9) искомый результат сразу вытекает из леммы.

Теперь легко получается и наш основной результат.

Теорема 13.2.3. Предположим, что для некоторой функции выполняется (13.1.9), и пусть такое семейство констант, что для каждого условия выполняются относительно семейства констант, удовлетворяющих (13.1.10), причем не превосходит в (13.1.9). Тогда

в том и только в том случае, когда

Доказательство. Если, как предполагается, выполнены (13.1.9), (13.1.10) и то ограничено в силу леммы 13.2.1 и по лемме 13.1.4 последовательность «подмаксимумов» определяемая согласно (13.1.1), удовлетворяет условию для любой последовательности Поэтому из леммы 3.3.2, обозначая имеем

Очевидно, достаточно доказать, что

тогда и только тогда, когда

для любой последовательности Далее, из ограниченности вытекает, что при так что

и, таким образом, (13.2.8) выполняется тогда и только тогда, когда

Поэтому достаточно доказать, что при предположениях теоремы равносильны (13.2.7) и (13.2.9).

Допустим теперь, что выполнено (13.2.7), так что, в частности,

В обозначениях следствия 13.2.2 имеем

Отсюда, полагая получаем

Возводя здесь все члены в степень и используя (13.2.6), находим

и, устремляя к бесконечности, доказываем (13.2.9).

Итак, при сделанных предположениях (13.2.9) вытекает из (13.2.7). Первая часть доказательства еще применима, так что остаются в силе (13.2.6) и заключение следствия 13.2.2, а следовательно, и (13.2.11). Перестановка членов в (13.2.11) дает У

Но из (13.2.6) и (13.2.9) следует, что и поэтому использование 13.2.2 дает

Умножая все члены этого соотношения на и полагая находим, что это и завершает доказательство того, что из (13.2.9) вытекает (13.2.7).