6.3. Сходимость вероятностей ... при наиболее слабых условиях на ...

Мы возвращаемся теперь к обобщению теоремы 6.1.3, убирая ограничение и требуя лишь, чтобы Как указывалось, это было сделано в работе Хюслера (1981) для стационарных нормальных последовательностей в качестве частного случая теоремы для стационарных (но не обязательно нормальных) последовательностей. Основной метод этой работы заключается в объединении в группы, члены которых имеют сравнимую величину. Здесь мы используем для достижения нашего результата для нестационарных последовательностей несколько упрощенный вариант этого метода. Он связан с группированием в множества сравнимых величин следующим образом. Обозначим и введем разбиение интервала целых чисел на непересекающиеся подмножества следующим образом. Определим

и т. д., пока не получим множество Таким образом, является таким непустым подмножеством целых чисел ( что минимальным и максимальным значениями для являются соответственно где Очевидно также что для каждого Наконец, обозначим

Разумеется, и множества все зависят от . Однако в системе обозначений, которая будет использоваться без специальных оговорок до конца раздела, эта зависимость не отражается. Первая лемма показывает что множествами вносящими относительно малый вклад в сумму можно пренебречь.

Лемма 6.3.1. В предыдущих обозначениях пусть Предположим, что

и сумма ограниченна. Тогда

и

Доказательство. Разность вероятностей в (6.3.1), очевидно, неотрицательна и мажорируется величиной

Но если то, поскольку

так как убывает для больших является одним из членов, вносящих вклад в Но если то так что

поскольку сумма ограниченна. Поэтому (6.3.1) вытекает из (6.3.3). Второе заключение (6.3.2) также немедленно следует из того факта, что (6.3.2) применимо, в частности, к независимым нормальным величинам, так как в этой лемме не делалось никаких предположений о корреляционной структуре.

Ввиду этой леммы для получения (6.1.2) достаточно показать, что

Это будет показано посредством следующих двух лемм.

Лемма 6.3.2. Предположим, что корреляции удовлетворяют соотношению Предположим, что и что сумма ограниченна. Тогда для

где для таких, как и в лемме 6.1.2, Доказательство. Обозначая имеем

Далее, экспоненциальное слагаемое не превосходит

поскольку Умножая эту последнюю границу на и суммируя по указанной области значений получаем

и, поскольку это дает

для некоторого К.

Лемма 6.3.3. Предположим, что где при сумма ограниченна. Тогда для

где причем зависит тогько от п. Доказательство. Опять обозначая пользуя доводы, аналогичные предыдущим, получаем

Далее,

где откуда и вытекает указанный результат.

Используя эти леммы вместе, мы можем теперь показать, что теорема 6.1.3 остается в силе, если требование о том, что должно ограничиваться снизу величиной с заменяется простым условием

Теорема 6.3.4. Пусть корреляции нормальной последовательности удовлетворяют неравенствам для для всех при Пусть постоянные таковы, что сумма ограниченна и Тогда выполняется (6.1.2). Если для

которого выполняется также и (6.1.3), то выполняется (6.1.1), т. е.

Доказательство. Полагая А таким же, как в лемме 6.3.1, мы выводим из лемм 6.1.2, 6.3.2 и 6.3.3, что

где Но а эта величина ограниченна, так что левая часть (6.3.5) стремится к нулю при Таким образом, из теоремы 4.2.1 вытекает, что (6.3.4) выполняется. Следовательно, согласно лемме 6.3.1, выполняется (6.1.2).

Наконец, если (6.1.3) выполняется, то, согласно лемме 6.1.1, выполняется и (6.1.1).