1.3. Максимум-устойчивые распределения

Мы отождествим теперь ф. p. G, которые могут являться предельными законами для максимумов н. о. р. последовательностей, т. е. могут встречаться в (1.1.3), с классом так называемых максимум-устойчивых распределений Мы будем говорить, что невырожденная ф. p. G является -устойчивой, если для каждого значения существуют такие константы что

Теорема Невырожденная ф. p. G является -устойчивой в том и только в том случае, если существуют такая последовательность функций распределений и такие постоянные что при

для каждого В частности, если ф. p. G невырожденна, то множество непусто тогда и только тогда, когда -устойчива. При этом также Таким образом, класс невырожденных ф. p. G, которые могут являться предельными законами в (1.1.3) (для н. о. р. ), совпадает с классом -устойчивых ф. р.

Доказательство, (i). Если ф. p. G невырожденна, то таковой же будет и функция для каждого и если (1.3.1) выполняется для каждого то из теоремы вместо вытекает, что для некоторых так что -устойчива. Обратно, если -устойчива и то для некоторых и

так что (1.3.1) получается совсем просто.

(ii) Если -устойчива, то для некоторых так что (устремляя мы видим, что Обратно, если множество непусто, то ему принадлежит какая-то Поэтому или Таким образом, (1.3.1) выполняется для и в силу (i) отсюда вытекает -устойчивость

Следствие 1.3.2. Если -устойчива, то существуют такие вещественные функции определенные для что

Доказательство. Поскольку -устойчива, то существуют такие что

и поэтому (используя обозначение для целой части)

Но, как легко заметить (переходя, например, к логарифмам), это приводит к соотношению

Ввиду наличия предела (1.3.4), (тривиального) предела (1.3.3) и невырожденности можно применить теорему 1.2.3 с показать, что для некоторых что и требуется.

Иногда слову «тип» удобно придавать более узкий смысл, чем то описательное его значение, которое до сих пор использовалось нами. Именно, мы можем сказать, что две являются ф. р. одного и того же типа, если

для некоторых постоянных Тогда данное выше определение -устойчивого распределения можно переформулировать следующим образом: «Невырожденная ф. p. G называется

устойчивой, если для каждого имеет тот же тип, что и

Далее, теорема 1.2.3 показывает, что если последовательность ф. р., для которых то являются ф. р. одного и того же типа, при условии их невырожденности. Ясно, что ф. р. можно разбить на классы эквивалентности (которые мы называем типами), объявляя эквивалентными, если для некоторых и

Если одного и того же типа и для некоторых то (1.2.3) выполняется с так что в силу теоремы 1.2.3, и поэтому Таким образом, если одного и того же типа, то Подобным же образом из теоремы 1.2.3 можно увидеть, что если принадлежит и то одного и того же типа. Поэтому совпадают тогда и только тогда, когда одного и того же типа. Иначе говоря, область притяжения ф. p. G зависит только от типа этой ф. р.