10.2. Эмпирические распределения меток в точках выходов

Точечный процесс на вещественной прямой, образованный выходами за уровень и, стационарен и не имеет кратных событий, т. е. совместное распределение с. в. не зависит от равно или или 1. (Здесь сдвиг множества на т. е. Далее, совместно стационарен с процессом т. е. распределение с. в. не зависит от

Пусть фиксированные числа. Тогда для каждого выхода можно проверить, будет ли выполняться Теперь, отправляясь от точечного процесса сформируем новый процесс удаляя из все такие точки для которых соотношения не выполняются в совокупности. Относительное число точек этого нового процесса говорит нам о том, сколь вероятно (для отдельной выборочной функции), что метка соответствующая точке 4 процесса удовлетворяет неравенствам

Точнее говоря, мы предполагаем, что наблюдается реализация процесса в интервале времени и, обозначая определяем эмпирическую функцию распределения метки как относительную частоту выходов, удовлетворяющих неравенствам т. е.

Характеристическое свойство эргодических процессов состоит в том, чтоэмпирические распределения, такие как сходятся

при н. к определенному неслучайному пределу, в данном случае (как будет видно) к

Напомним, что (строго) стационарная последовательность является эргодической, если для каждой (измеримой) функции последовательности в целом среднее по времени функции по последовательно сдвигаемым копиям этой последовательности

при сходится с вероятностью единица к при условии, что это математическое ожидание конечно. Здесь обозначает исходную последовательность, сдвинутую влево на единиц времени. Для процесса с непрерывным временем сумму следует заменить интегралом.

Далее, если эргодический процесс с непрерывным временем и с. в. определены как функции от т.е. то стационарная последовательность. По поводу дальнейших подробностей относительно эргодичности см., например, Брейман (1968).

В случае нормальных процессов и последовательностей имеется простой критерий эргодичности: спектральное распределение не должно иметь дискретной составляющей, т. е. спектральная ф. р. должна быть непрерывной функцией. Это было доказано Маруямой (1949) и Гренандером (1950).

Теорема 10.2.1. Если процесс эргодический и то с вероятностью единица

Доказательство. Если процесс эргодический, также эргодичны, и поэтому

где пробегая целочисленные значения. Далее заметим, что

где Поскольку в силу (10.2.2), отсюда следует, что

и аналогично

с вероятностью единица при что доказывает (10.2.1).

До настоящего момента мы, как обычно, не конкретизировали основное вероятностное пространство, на котором ведется рассмотрение. Пусть теперь пространство непрерывно дифференцируемых функций, определенных на вещественной прямой. Мы будем обозначать типичный элемент пространства как и пусть значение этого в точке в полном соответствии с предшествующим использованием. Мы можем тогда представить себе вероятностную меру нашего исходного процесса как определенную на С или, более точно, на наименьшей -алгебре подмножеств относительно которой все проекции измеримы.

В качестве обобщения изучавшегося выше точечного процесса мы для каждого определим новый процесс удаляя из все такие точки для которых т. е. для которых функция не принадлежит Тогда (10.2.1) побуждает нас дать определение второй вероятностной меры на посредством соотношения

Мы будем называть распределением Пальма или эргодическим распределением процесса после его выхода за уровень и. В силу аддитивности математических ожиданий является в действительности вероятностной мерой, и конечномерные распределения с. в. являются, очевидно, в точности функциями определенными в (10.2.1). Поэтому

Очевидно, что результат теоремы 10.2.1 об эмпирических распределениях для остается в силе при замене на для произвольного т. е. с -вероятностью единица

Это ведет к сходимости эмпирических распределений и многих других интересных функционалов, таких, как длительность выброса, т. е. период времени между выходом и следующим за ним входом под тот же самый уровень, максимум в интервалах фиксированной длины, следующих за выходом, т. е.

Относительно других примеров см. Линдгрен (1977).

Мера формализует понятие условного распределения процесса при условии, что он имеет в момент выход за уровень и и, согласно теореме 10.2.1, описывает свойства как функции от на больших интервалах времени, когда пробегает множество всех положительных моментов выходов. Таким образом, -распределение значения можно интерпретировать как «условное распределение значения исходного процесса через время после произвольного выхода за уровень В частности, имеет в точке выход за уровень так что -вероятностью единица.

Если — стационарный нормальный процесс, имеющий непрерывно дифференцируемые выборочные функции, то можно показать (хотя для этого привлекается теория пересечений для нестационарных процессов), что к тому же, в очевидных обозначениях, для всех Таким образом п. н. относительно меры в любом конечном интервале имеется лишь конечное число выходов за уровень и, и поэтому метки вполне определены. Следующий результат дает дополнительную мотивировку для представления как о распределении произвольной метки в исходном процессе и делает точным интуитивное представление о том, что относительно распределения метки имеют одно и то же распределение для и являются в равной степени «произвольными».

Теорема 10.2.2. Предположим, что стационарный нормальный процесс, имеющий непрерывно дифференцируемые выборочные функции (например, удовлетворяет общим предположениям предыдущего раздела). Тогда последовательность меток стационарна относительно распределения Пальма в том смысле, что конечномерное -распределение для

не зависит от В частности, для фиксированного все образуют стационарную вещественную последовательность и поэтому имеют одно и то же -распределение, тогда как относительно меры они имеют неодинаковые распределения,

Доказательство. Мы покажем только, что относительно меры распределение с. в. совпадает с распределением с. в. Полное доказательство отличается лишь более сложными обозначениями.

Положим Тогда

Аналогично

Возьмем теперь пару соседних точек Мы видим, что засчитывается в (10.2.3) в том и только в том случае, когда

в то время как вносит вклад в (10.2.4) тогда и только тогда, когда

т. е. тогда и только тогда, когда

Следовательно, количества точек в (10.2.3) и (10.2.4) отличаются самое большее на или —1, так что

Пальмовские вероятности могут быть получены, так же как пределы обычных условных вероятностей, при условии, что точка, т. е. выход, находится не строго в нуле, а где-то поблизости. Пусть последний выход за уровень и, предшествующий точке Тогда

и можно показать, что предел (10.2.5) существует и равен отношению (10.2.1). Фактически (10.2.5) можно принять за определение пальмовских распределений, и именно такой подход был принят Кацем и Слепяном (1959), которые назвали его методом условных вероятностей горизонтального окна для пересечений, указывая на то, что выборочная функция должна проходить через горизонтальное окно Это является противоположностью условию вертикального окна, которое требует, чтобы так что процесс должен проходить через вертикальное окно

с положительным наклоном. Распределения горизонтального и вертикального окна будут отличаться в одном особом аспекте, а именно маргинальным распределением значения производной метки в точке выхода; см. конец следующего раздела.