12.3. Максимумы на расширяющихся интервалах

Ковариационное условие (8.1.2), т. е. при оказывается также достаточным для установления двойного экспоненциального предела для максимума в этом общем случае. Мы устремим теперь таким образом, чтобы

т. е. Переходя к логарифмам, получаем,

что влечет за собой

или откуда

Лемма 12.3.1. Пусть задано и предположим, что выполнены оба условия (12.1.1) и (8.1.2). Пусть для фиксированного так что и при и пусть при и таким образом, что Тогда

Доказательство. Эта лемма соответствует лемме 8.1.1. Сначала мы расщепим сумму (12.3.2) значением где такая постоянная, что

Затем, используя общее обозначение К для различных постоянных, получаем, поскольку

и

Обозначая мы имеем при и поэтому для

так что остальная часть суммы ограничена сверху величиной

Поскольку имеем также

при в то время как для остальной части произведения в (12.3.3) мы должны использовать более точную оценку из (12.3.1)

Поскольку при и мы видим, что для некоторой постоянной

Таким образом, поскольку

и это завершает доказательство леммы.

Мы можем теперь следовать доказательству теоремы 8.2.5. Сначала возьмем фиксированное положим и разобьем отрезок на интервалов длины а затем расщепим каждый из этих интервалов на два подынтервала длины соответственно. Затем покажем асимптотическую независимость максимумов, доказав сначала следующие

леммы, соответствующие леммам 8.2.3 и 8.2.4 соответственно.

Лемма 12.3.2. Предположим, что и выполняется условие (12.1.1) и Тогда

Доказательство. Часть (i) сразу следует из неравенства Буля и теоремы 12.2.9, поскольку

ввиду

Часть (ii) получается аналогично из леммы 12.2.11, в соответствии с которой

где

Лемма 12.3.3. Пусть при и предположим, что при соотношение (12.3.2) выполняется для каждого Тогда а

где при а

Доказательство. Часть (i) выводится идентично доказательству леммы 8.2.4 (i). Что касается части (ii), то

как и в доказательстве леммы 12.3.2 (ii), которое не использует зависимости или независимости между величинами на различных интервалах. Кроме того, в силу стационарности,

Теорема 12.3.4. Пусть стационарный норма гьный процесс с нулевым средним, ковариационная функция которого удовлетворяет условиям (12.1.1) и (8.1.2). т. е.

и

Если таким образом, что то

Доказательство. В соответствии с леммой 12.3.1 выполнено условие (12.3.2) леммы 12.3.3, и тогда в силу лемм 12.3.2 и 12.3.3 мы имеем

при Полагая теперь находим отсюда, что

По теореме и поэтому, так как

Поскольку к тому же

это доказывает теорему.

Как легко убедиться, выбор заданными соотношениями (12.1.2), удовлетворяет соотношению см. (12.3.1), и мы немедленно получаем следующую теорему.

Теорема 12.3.5. Предположим, что удовлетворяет условиям теоремы 12.3.4 и что с , таким же, как в замечании 12.2.10,

Тогда при