10.3. Модельный процесс Слепяна

Посвятим остаток этой главы более подробному исследованию свойств меток относительно распределения Пальма, в частности когда уровень и становится высоким. Ввиду теоремы 10.2.2 все имеют одинаковое -распределение, так что возьмем в качестве типичного представителя.

Нашим инструментом будет явное представление -распределения для при помощи простого процесса, первоначально введенного Слепяном (1963) и поэтому именуемого в этой работе модельным процессом Слепяна. Следующая теорема использует определение распределений Пальма и создает основу для представления Слепяна.

Теорема 10.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 10.2.2 и . Тогда для

где совместная плотность значений процесса и его производной , а условная плотность при условии, что Следовательно, -распределение значения абсолютно непрерывно и имеет плотность

Что касается -мерного -распределения для то оно получается заменой на условную -плотность с. в. при заданных значениях

Доказательство. Одномерная форма (10.3.1) является непосредственным следствием лемм и 7.5.2, поскольку мы предположили, что имеют невырожденное распределение. Можно взять и точно таким же путем, как и в доказательстве леммы 7.6.1, проверить, что

так что

Многомерный случай доказывается аналогичным образом.

Теорема 10.3.1 утверждает, что совместная плотность с. в. соответствующая дается формулой

где условная -плотность с. в. при заданных значениях Мы вычислим сейчас (10.3.2), чтобы получить модельный процесс Слепяна.

Обозначая и используя тот факт, что и (0) независимы и нормальны с получаем

и можем записать (10.3.2) в виде 00

Ковариационная матрица с. в. равна

Из стандартных свойств условных нормальных плотностей [см. Рао (1973, с. 467)] следует, что есть -мерная нормальная плотность и что

и

Плотность (10.3.3) является, таким образом, смесью -мерных нормальных плотностей, которые имеют одни и те же ковариации (10.3.5), но различные средние (10.3.4) и смешиваются пропорционально рэлеевской плотности

Теперь мы готовы к тому, чтобы ввести модельный процесс Слепяна. Пусть с. в. имеет распределение Рэлея с плотностью (10.3.6), и пусть нестационарный нормальный процесс, не зависящий от и имеющий нулевое среднее и ковариационную функцию

То, что это действительно ковариационная функция, вытекает из (10.3.5). Поэтому на некотором вероятностном пространстве, конкретизировать которое нет необходимости, существуют с такими свойствами. Процесс

называется модельным процессом Слепяна для процесса после его выходов за уровень и. Ясно, что при условии процесс (10.3.7) является нормальным и имеет среднее и ковариации, задаваемые правыми частями (10.3.4) и (10.3.5) соответственно, так что его конечномерные распределения задаются плотностями (10.3.3).

Теорема 10.3.2. В условиях теоремы 10.2.2 конечномерные распределения Пальма метки а следовательно, по теореме 10.2.2 и всех меток совпадают с конечномерными распределениями модельного процесса Слепяна

т. е.

для любых борелевских множеств

Следует отметить, что высота уровня и входит в только через функцию в то время как одни и те же для всех делает возможным получать распределения Пальма для

адеток, связанных с пересечениями любого уровня, вводя только одну случайную величину и один случайный процесс В последующем для вывода теорем о сходимости при и будем использовать тот факт, что и входит в только посредством слагаемого

Эти теоремы преобразовываются затем с помощью теоремы 10.3.2 в теоремы о сходимости распределений, соответствующих распределению Пальма что для эргодических процессов, согласно теореме 10.2.1, означает сходимость к предельным эмпирическим распределениям.

Как указывалось в предыдущем разделе, те же самые рассуждения применимы к предельным эмпирическим распределениям некоторых других функционалов. В частности, это относится и к максимумам, и поэтому интересно исследовать асимптотические свойства максимумов для модельного процесса Слепяна.

Здесь следует упомянуть некоторые простые факты относительно модельного процесса Можно показать, что процесс два раза непрерывно дифференцируем, и очевидно, что так что Поскольку имеем

так что есть просто значение производной процесса в нуле. В соответствии с теоремой 10.3.2 это немедленно преобразуется в соответствующий результат о распределении значения производной в момент выхода.

Следствие 10.3.3. Распределение Пальма производной метки в момент выхода за уровень и не зависит от и имеет рэлеевскую плотность (10.3.6).

Величина определяет тангенс угла наклона траектории процесса в точке При больших значениях слагаемое к в будет доминирующим, если при (Достаточным условием этого является наличие у процесса спектральной плотности, и в таком случае процесс является также и эргодическим.) Тогда при так что при больших имеет асимптотически точно такую же ковариационную структуру, что и безусловный процесс Этот факт отражает то обстоятельство, что влияние выхода асимптотически исчезает.

Явное модельное представление, аналогичное (10.3.7), можно определить и в случае использования условий вертикального окна, упомянутом в разд. 10.2. Единственное отличие состоит в том, что производная траектории процесса в точке имеет В этом случае усеченное (в нуле слева) нормальное распределение.

Заметим, что такая модель не описывает эмпирического поведения процесса вблизи его выходов за фиксированный уровень и.